Question

17．已知，如图矩形ABCD，CE⊥BD，∠DCE：∠ECB=3：1，求证：CE=DE．

Answer 1

分析 由矩形的性质得出∠BCD=90°，OB=OC，得出∠OCB=∠OBC，求出∠ECB，得出∠OBC、OCB、∠OCE，证出△OCE是等腰直角三角形，即可得出CE=OE．

解答 证明：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠DCE：∠ECB=3：1，
∴∠ECB=$\frac{1}{4}$×90°=22.5°，
∵CE⊥BD，
∴∠BEC=90°，
∴∠OBC=90°-22.5°=67.5°，
∴∠OCB=67.5°，
∴∠OCE=45°，
∴△OCE是等腰直角三角形，
∴CE=OE．

点评 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．