【题目】对x,y定义一种新运算F,规定:F(x,y)=ax+by(其中a,b均为非零常数).例如:F(3,4)=3a+4b.
(1)已知F(1,﹣1)=﹣1,F(2,0)=4.
①求a,b的值;
②已知关于p的不等式组,求p的取值范围;
(2)若运算F满足,请你直接写出F(m,m)的取值范围(用含m的代数式表示,这里m为常数且m>0).
【答案】(1)①a=2,b=3;②1<p ≤2;(2)F(m,m)的取值范围是﹣m<F(m,m)≤3m.
【解析】
(1)①根据定义的新运算F,将F(1,-1)=-1,F(2,0)=4代入F(x,y)=ax+by,得到关于a、b的二元一次方程组,求解即可;
②根据题中新定义化简已知不等式组,再求出不等式组的解集即可;
(2)由已知条件得出-1<a+b≤3,由F(m,m)=am+bm=m(a+b),即可得出-m<m(a+b)≤3m,就可以求得F(m,m)的取值范围.
解:(1)①根据题意得:F(1,﹣1)=a﹣b=﹣1,
F(2,0)=2a=4,
解得:a=2,b=3;
②根据F(x,y)=ax+by,
F(3﹣2p,2)=2(3﹣2p)+6=12﹣4p,
F(1,2﹣3p)=2+3(2﹣3p)=8﹣9p,
∴,
解不等式①得:p≤2,
解不等式②得:p>1,
故p的取值范围为1<p ≤2;
(2)由题意得,
①+②得﹣3<3(a+b)≤9,
则﹣1<a+b≤3,
F(m,m)=am+bm=m(a+b),
所以﹣m<m(a+b)≤3m,
故F(m,m)的取值范围是﹣m<F(m,m)≤3m.
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【题目】如图,已知AD⊥BC,垂足为点D,EF⊥BC,垂足为点F,∠1+∠2=180°.请填写∠CGD=∠CAB的理由.
解:因为AD⊥BC,EF⊥BC(______ )
所以∠ADC=90°,∠EFD=90°(______ )
得∠ADC=∠EFD(等量代换),
所以AD∥EF(______ )
得∠2+∠3=180°(______ )
由∠1+∠2=180°(______ )
得∠1=∠3(______ )
所以DG∥AB(______ )
所以∠CGD=∠CAB(______ )
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【题目】如图,已知:E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,C、D是垂足,连接CD,且交OE于点F.
(1)求证:OE是CD的垂直平分线.
(2)若∠AOB=60,请你探究OE,EF之间有什么数量关系?并证明你的结论。
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【题目】如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DE//AC,且DE:AC=1:2,连接CE、OE,连接AE交OD于点F.
(1)求证:OE=CD;
(2)若菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,求AE的长.
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【题目】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是一大重要研究成果.如图所示的三角形数表,称“杨辉三角”.具体法则:两侧的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律:
(1)根据上面的规律,写出(a+b)5的展开式;
(2)利用上面的规律计算:(﹣3)4+4×(﹣3)3×2+6×(﹣3)2×22+4×(﹣3)×23+24.
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【题目】某水果批发商场经销一种高档水果,若每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,求:
(1)每千克应涨价多少元?
(2)该水果月销售(按每月30天)是多少千克?
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【题目】某水果批发商场经销一种高档水果,若每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,求:
(1)每千克应涨价多少元?
(2)该水果月销售(按每月30天)是多少千克?
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,将△ABC绕点C按照顺时针方向旋转m度后得到△DEC,点D刚好落在AB边上.
(1)求m的值;
(2)若F是DE的中点,判断四边形ACFD的形状,并说明理由.
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【题目】“知识改变命运,科技繁荣祖国”.我市中小学每年都要举办一届科技运动会.下图为我市某校2009年参加科技运动会航模比赛(包括空模、海模、车模、建模四个类别)的参赛人数统计图:
(1)该校参加车模、建模比赛的人数分别是 人和 人;
(2)该校参加航模比赛的总人数是 人,空模所在扇形的圆心角的度数是 °,并把条形统计图补充完整;(温馨提示:作图时别忘了用0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑)
(3)从全市中小学参加航模比赛选手中随机抽取80人,其中有32人获奖.今年我市中小学参加航模比赛人数共有2485人,请你估算今年参加航模比赛的获奖人数约是多少人?
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