Question

【题目】如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于F.

（1）直接写出线段OE与OF的数量关系；

（2）如图2，若点E在AC的延长线上，过点A作AM⊥BE ,AM交DB的延长线于点F，其他条件不变.问（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由；

（3）如图3，当BC=CE时，求∠EAF的度数.

Answer 1

【答案】(1) OE=OF; (2) OE=OF仍然成立，理由见解析;(3)67.5°.

【解析】（1）根据正方形的性质利用ASA判定△AOF≌△BOE，根据全等三角形的对应边相等得到OE=OF；

（2）类比（1）的方法证得同理得出结论成立；

（3）由BC=CE， 可证AB=BF，从而∠F=∠FAB=∠ABD=22.5°，然后根据∠EAF=∠FAB+∠BAO计算即可.

（1）OE=OF;

（2）OE=OF仍然成立，理由是：

由正方形ABCD对角线垂直得，∠BOC=90°，

∵AM⊥BE ∴∠BMF=90°，

∴∠BOC=∠BMF.

∵∠MBF=∠OBE，

∴∠F=∠E，

又∵AO=BO，

∴△AOF≌△BOE，

∴OE=OF;

（3）由（2）得OE=OF，且OB=OC，则BF=CE，

∵BC=CE，

∴AB=BF，

∴∠F=∠FAB=∠ABD=22.5°，

又∵∠BAO=45°，

∴∠EAF=∠FAB+∠BAO=22.5°+45°=67.5°.