【题目】如图,中,点为边上一点,过点作于,已知.
(1)若,求的度数;
(2)连接,过点作于,延长交于点,若,求证:.
【答案】(1)∠BEA=70°;(2)证明见解析;
【解析】
(1)作BJ⊥AE于J.证明BJ是∠ABE的角平分线即可解决问题.
(2)作EM⊥AD于M,CN⊥AD于N,连接CH.证明△AEF≌△AEM(HL),△AGE≌△HGC(SAS),△EMA≌△CNH(HL),即可解决问题.
(1)解:作BJ⊥AE于J.
∵BF⊥AB,
∴∠ABJ+∠BAJ=90°,∠AEF+∠EAF=90°,
∴∠ABJ=∠AEF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠D=∠ABC,
∵∠D=2∠AEF,
∴∠ABE=2∠AEF=2∠ABJ,
∴∠ABJ=∠EBJ,
∵∠ABJ+∠BAJ=90°,∠EBJ+∠BEJ=90°,
∴∠BAJ=∠BEJ,
∵∠BAE=70°,
∴∠BEA=70°.
(2)证明:作EM⊥AD于M,CN⊥AD于N,连接CH.
∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠BEA,
∵∠BAE=∠BEA,
∴∠BAE=∠DAE,
∵EF⊥AB,EM⊥AD,
∴EF=EM,
∵EA=EA,∠AFE=∠AME=90°,
∴Rt△AEF≌Rt△AEM(HL),
∴AF=AM,
∵EG⊥CG,
∴∠EGC=90°,
∵∠ECG=45°,
∠GCE=45°,
∴GE=CG,
∵AD∥BC,
∴∠GAH=∠ECG=45°,∠GHA=∠CEG=45°,
∴∠GAH=∠GHA,
∴GA=GH,
∵∠AGE=∠CGH,
∴△AGE≌△HGC(SAS),
∴EA=CH,
∵CM=CN,∠AME=∠CNH=90°,
∴Rt△EMA≌Rt△CNH(HL),
∴AM=NH,
∴AN=HM,
∵△ACN是等腰直角三角形,
∴AC= AN,即AN=AC,
∴AH=AM+HM=AF+AC.
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【题目】如图,在ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,BG=,则△CEF的周长为( )
A. 8 B. 9.5 C. 10 D. 11.5
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【题目】如图①,在平面直角坐标系中,直线:分别与轴、轴交于点、,且与直线:交于点,以线段为边在直线的下方作正方形,此时点恰好落在轴上.
(1)求出三点的坐标.
(2)求直线的函数表达式.
(3)在(2)的条件下,点是射线上的一个动点,在平面内是否存在点,使得以、、、为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某商店经销一种泰山旅游纪念品,4月份的营业额为2000元,为扩大销售量,5月份该商店对这种纪念品打9折销售,结果销售量增加20件,营业额增加700元.
(1)求该种纪念品4月份的销售价格;
(2)若4月份销售这种纪念品获利800元,5月份销售这种纪念品获利多少元?
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【题目】某超市促销活动,将三种水果采用甲、乙、丙三种方式搭配装进礼盒进行销售.每盒的总成本为盒中三种水果成本之和,盒子成本忽略不计.甲种方式每盒分别装三种水果;乙种方式每盒分别装三种水果 .甲每盒的总成本是每千克 水果成本的倍,每盒甲的销售利润率为;每盒甲比每盒乙的售价低;每盒丙在成本上提高标价后打八折出售,获利为每千克 水果成本的倍.当销售甲、乙、丙三种方式搭配的礼盒数量之比为时,则销售总利润率为__________.
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【题目】小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动.小明想参加敬老服务活动,小亮想参加文明礼仪宣传活动.他们想通过做游戏来决定参加哪个活动,于是小明设计了一个游戏,游戏规则是:在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、6三个数字,一人先从三张卡片中随机抽出一张,记下数字后放回,另一人再从中随机抽出一张,记下数字,若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数,则按照小明的想法参加敬老服务活动,若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数,则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动.你认为这个游戏公平吗?请说明理由.
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【题目】如图,已知正方形ABCD,点E在BA延长线上,点F在BC上,且∠CDE=2∠ADF.
(1)求证:∠E=2∠CDF;
(2)若F是BC中点,求证:AE+DE=2AD;
(3)作AG⊥DF于点G,连CG.当CG取最小值时,直接写出AE:AB的值.
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【题目】已知四边形中,,垂足为点,.
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,点为上一点,连接,,求证:;
(3)在(2)的条件下,如图3,点为上一点,连接,点为的中点,分别连接,,+==,,求线段的长.
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