Question

【题目】如图，已知正方形ABCD，点E在BA延长线上，点F在BC上，且∠CDE＝2∠ADF．

（1）求证：∠E＝2∠CDF；

（2）若F是BC中点，求证：AE+DE＝2AD；

（3）作AG⊥DF于点G，连CG．当CG取最小值时，直接写出AE：AB的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）1：2

【解析】

（1）如图1，延长BC至M，使得CM=AE，连接DM，根据正方形性质得出AB=BC=AD=CD，然后进一步证明△ADE△CDM，据此利用全等三角形性质以及正方形性质进一步分析求证即可；

（2）如图2，延长BC至M，使得CM=AE，连接DM，作MH⊥DF于H，设BF＝FC＝x，利用勾股定理求出DF＝x，据此进一步分析证明△DFC~△MFH，最后再利用相似三角形性质进一步加以分析求证即可；

（3）如图3﹣1中，取AD的中点N，首先求出当C、G、N三点共线时，CG最小，然后如图3﹣2中，当C、G、N共线时，延长BC至M，使得CM=AE，连接DM，通过证明四边形NCMD为平行四边形进一步求解即可.

（1）证明：如图1，延长BC至M，使得CM=AE，连接DM，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC=AD=CD，

在△ADE与△CDM中，

∵AD=CD，∠DAE=∠DCM，AE=CM，

∴△ADE△CDM（SAS），

∴∠E＝∠M，∠EDA＝∠CDM，

∴∠CDE＝∠ADM，

∵∠CDE＝2∠ADF，

∴∠ADM＝2∠ADF，

∴∠FDM＝∠ADF，

∵正方形ABCD中AD∥BC，

∴∠ADF＝∠DFM＝∠FDM，

∴∠E＝∠M＝180°﹣2∠DFM，

∵∠DCB＝90°，

∴∠CDF＝90°﹣∠DFM，

∴∠E＝2∠CDF．

（2）证明：如图2，延长BC至M，使得CM=AE，连接DM，作MH⊥DF于H．

∵若F是BC中点，设BF＝FC＝x，则CD＝2x，

在Rt△FDC中，DF＝x，

由（1）得，∠DFM＝∠FDM，

∴DM＝FM，

又∵HM⊥DF，

∴FH＝DF＝x，

∵∠DFC＝∠MFH，∠DCB＝∠MHF＝90°，

∴△DFC~△MFH，

∴，

∴FM＝x，

∴CM＝AE＝FM﹣FC＝x，

∵DE＝DM＝FM＝x，

∴AE+DE＝x+x＝4x，

∵CD＝AD＝2x，

∴AE+DE＝2AD．

（3）如图3﹣1中，取AD的中点N．

∵AG⊥DF于点G，

∴∠AGD＝90°，

∵AN＝DN，

∴GN＝AD，

∵CG≥CN﹣GN，

∴当C、G、N三点共线时，CG最小．

如图3﹣2中，当C、G、N共线时，延长BC至M，使得CM=AE，连接DM，

∵∠AGD＝90°，N为AD中点，

∴AN＝NG＝ND，

∴∠NGD＝∠ADF，

由（1）∠ADF＝∠FDM，

∴∠NGD＝∠FDM，

∴DM∥NC，

∵正方形ABCD中AD∥BC，

∴四边形NCMD为平行四边形，

∴CM＝DN＝AD，

∵CM＝AE，

∴AE＝AD＝AB，

∴AE：AB＝1：2．