Question

【题目】在△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连接CD，则线段CD的长为_____．

Answer 1

【答案】2或2．

【解析】

分①点A、D在BC的两侧，设AD与边BC相交于点E，根据等腰直角三角形的性质求出AD，再求出BE=DE=AD并得到BE⊥AD，然后求出CE，在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解；②点A、D在BC的同侧，根据等腰直角三角形的性质可得BD=AB，过点D作DE⊥BC交BC的反向延长线于E，判定△BDE是等腰直角三角形，然后求出DE=BE，再求出CE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．

解：①如图1，点A、D在BC的两侧，

∵△ABD是等腰直角三角形，

∴AD=AB=×4=8，

∵∠ABC=45，

∴BE=DE=AD=×8=4，BE⊥AD，

∵BC=2，

∴CE=BEBC=42=2，

在Rt△CDE中，CD===2；

②如图2，点A、D在BC的同侧，

∵△ABD是等腰直角三角形，

∴BD=AB=4，

过点D作DE⊥BC交BC的反向延长线于E，则△BDE是等腰直角三角形，

∴DE=BE=×4=4，

∵BC=2，

∴CE=BE+BC=4+2=6，

在Rt△CDE中，CD===2，

综上所述，线段CD的长为2或2.

故答案为：2或2.