【题目】在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这个二次函数的关系解析式;
(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
考生注意:下面的(3)、(4)、(5)题为三选一的选做题,即只能选做其中一个题目,多答时只按作答的首题评分,切记啊!
(3)在平面直角坐标系中,是否存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;
(4)点Q是直线AC上方的抛物线上一动点,过点Q作QE垂直于x轴,垂足为E.是否存在点Q,使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;
(5)点M为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点Q,使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)存在,;(3)存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形.Q点坐标为:Q1(2,3),Q2(3,1),Q3(1,1),Q4(2,1);(4)存在,Q点坐标为(2,2)或;(5)存在点Q,使以A. C.M、Q为顶点的四边形是平行四边形.Q点坐标为:.
【解析】
(1)将点A、B的坐标代入即可求得a、b,从而得到二次函数的关系解析式.
(2)设点P坐标为(m,n),则.连接PO,作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N,根据求出S关于m的二次函数,根据二次函数最值求法即可求解.
(3)如图(3)所示,以BC为边,在线段BC两侧分别作正方形,正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形”,因此有四个点符合题意要求;
(4)如图(4)所示,若以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似,有两种情况,需要分类讨论,不要漏解;
(5)以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形,有四种情况,分别如图(5)a、图(5)b所示,注意不要漏解.
解:(1)由抛物线过A(-3,0),B(1,0),则
,解得.
∴二次函数的关系解析式为.
(2)设点P坐标为(m,n),则.
连接PO,作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N.
PM =,,AO=3.
当时,,所以OC=2.
∵<0,∴函数有最大值,当时,有最大值.
此时.
∴存在点,使△ACP的面积最大.
(3)如图(3)所示,以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3,则点Q1,Q2,Q3,Q4为符合题意要求的点.
过Q1点作Q1D⊥y轴于点D,
∵∠BCQ1=90°,
∴∠Q1CD+∠OCB=90°,
又∵在直角△OBC中,∠OCB+∠CBO=90°,
∴∠Q1CD=∠OCB,
又∵Q1C=BC,∠Q1DC=∠BOC,
∴△Q1CD≌△CBO,
∴Q1D=OC=2,CD=OB=1,∴OD=OC+CD=3,∴Q1(2,3);
同理求得Q2(3,1),Q3(1,1),Q4(2,1).
∴存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形.Q点坐标为:Q1(2,3),Q2(3,1),Q3(1,1),Q4(2,1).
(4)如图(4)所示,设E(n,0),则BE=1n, .
假设以点B.Q、E为顶点的三角形与△AOC相似,则有两种情况:
①若△AOC∽△BEQ,则有:,
即,化简得:n2+n2=0,
解得n1=2,n2=1(与B重合,舍去),
∴n=2, .
∴Q(2,2);
②若△AOC∽△BQE,则有:,
即,化简得:4n2n3=0,
解得 (与B重合,舍去),
∴.
综上所述,存在点Q,使以点B.Q、E为顶点的三角形与△AOC相似.
Q点坐标为(2,2)或.
(5)假设存在点Q,使以A. C.M、Q为顶点的四边形是平行四边形.
①若CM平行于x轴,如图(5)a所示,有符合要求的两个点Q1,Q2,此时Q1A=Q2A=CM.
∵CM∥x轴,∴点M、点C(0,2)关于对称轴x=1对称,
∴M(2,2),
∴CM=2.
由Q1A=Q2A=CM=2,得到Q1(5,0),Q2(1,0);
②若CM不平行于x轴,如图(5)b所示.过点M作MG⊥x轴于G,
易证△MGQ≌△COA,得QG=OA=3,MG=OC=2,即yM=2.
设M(x,2),则有,
解得
又QG=3,
∴,
综上所述,存在点Q,使以A. C.M、Q为顶点的四边形是平行四边形.Q点坐标为:.
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(2)该年级报名参加本次活动的总人数 ,并补全频数分布直方图;
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(1)求B点的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否存在点N(点B除外),使得△ACN仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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(1)求k的取值范围;
(2)设方程①的两个实数根分别为x1,x2,当k=1时,求x12+x22的值.
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【题目】某厂大门是抛物线形水泥建筑,大门地面路宽为6,顶部距离地面的高度为4,现有一辆装载大型设备的车辆要进入厂区,已知设备总宽为2.4,要想通过此门,则设备及车辆总高度应小于______.
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(1)当点E与点B重合时,点F恰好与点C重合(如图2).
①求证:△APB∽△DCP;
②求PC、BC的长.
(2)探究:将直角尺从图2中的位置开始,绕点P顺时针旋转,当点E和点A重合时停止.在这个过程中(图1是该过程的某个时刻),观察、猜想并解答:
① tan∠PEF的值是否发生变化?请说明理由.
② 设AE=x,当△PBF是等腰三角形时,请直接写出x的值.
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