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【题目】在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A(-30),B10)两点,与y轴交于点C

1)求这个二次函数的关系解析式;

2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;

考生注意:下面的(3)、(4)、(5)题为三选一的选做题,即只能选做其中一个题目,多答时只按作答的首题评分,切记啊!

3)在平面直角坐标系中,是否存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;

4)点Q是直线AC上方的抛物线上一动点,过点QQE垂直于x轴,垂足为E.是否存在点Q,使以点BQE为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;

5)点M为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点Q,使以ACMQ为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】1;(2)存在,;(3)存在点Q,使BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形.Q点坐标为:Q1(2,3),Q2(3,1),Q3(1,1),Q4(2,1);(4)存在,Q点坐标为(2,2);(5)存在点Q,使以A. C.MQ为顶点的四边形是平行四边形.Q点坐标为:.

【解析】

1)将点AB的坐标代入即可求得ab,从而得到二次函数的关系解析式.

2)设点P坐标为(mn),则.连接PO,作PM⊥x轴于MPN⊥y轴于N,根据求出S关于m的二次函数,根据二次函数最值求法即可求解.

3)如图(3)所示,以BC为边,在线段BC两侧分别作正方形,正方形的其他四个顶点均可以使得BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形,因此有四个点符合题意要求;

4)如图(4)所示,若以点BQE为顶点的三角形与AOC相似,有两种情况,需要分类讨论,不要漏解;

5)以ACMQ为顶点的四边形是平行四边形,有四种情况,分别如图(5a、图(5b所示,注意不要漏解.

解:(1)由抛物线A(-30),B10),则

,解得

二次函数的关系解析式为

2)设点P坐标为(mn),则

连接PO,作PM⊥x轴于MPN⊥y轴于N

PM =AO=3

时,,所以OC=2

0函数有最大值,当时,有最大值.

此时

存在点,使△ACP的面积最大.

(3)如图(3)所示,BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3,则点Q1,Q2,Q3,Q4为符合题意要求的点.

Q1点作Q1Dy轴于点D

∵∠BCQ1=90°

∴∠Q1CD+OCB=90°

又∵在直角OBC,OCB+CBO=90°

∴∠Q1CD=OCB

又∵Q1C=BC,Q1DC=BOC

Q1CDCBO

Q1D=OC=2,CD=OB=1,OD=OC+CD=3,Q1(2,3)

同理求得Q2(3,1),Q3(1,1),Q4(2,1).

∴存在点Q,使BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形.Q点坐标为:Q1(2,3),Q2(3,1),Q3(1,1),Q4(2,1).

(4)如图(4)所示,E(n,0),BE=1n, .

假设以点B.QE为顶点的三角形与AOC相似,则有两种情况:

AOCBEQ,则有:

,化简得:n2+n2=0

解得n1=2,n2=1(B重合,舍去),

n=2, .

Q(2,2)

AOCBQE,则有:

,化简得:4n2n3=0

解得 (B重合,舍去),

.

综上所述,存在点Q,使以点B.QE为顶点的三角形与AOC相似.

Q点坐标为(2,2).

(5)假设存在点Q,使以A. C.MQ为顶点的四边形是平行四边形.

①若CM平行于x,如图(5)a所示,有符合要求的两个点Q1,Q2,此时Q1A=Q2A=CM.

CMx,∴点M、点C(0,2)关于对称轴x=1对称,

M(2,2),

CM=2.

Q1A=Q2A=CM=2,得到Q1(5,0),Q2(1,0)

②若CM不平行于x,如图(5)b所示.过点MMGx轴于G

易证MGQCOA,QG=OA=3,MG=OC=2,yM=2.

M(x,2),则有

解得

QG=3,

综上所述,存在点Q,使以A. C.MQ为顶点的四边形是平行四边形.Q点坐标为:.

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