【题目】在矩形ABCD中,点P在AD上,AB=2,AP=1.直角尺的直角顶点放在点P处,直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F,连接EF(如图1).
(1)当点E与点B重合时,点F恰好与点C重合(如图2).
①求证:△APB∽△DCP;
②求PC、BC的长.
(2)探究:将直角尺从图2中的位置开始,绕点P顺时针旋转,当点E和点A重合时停止.在这个过程中(图1是该过程的某个时刻),观察、猜想并解答:
① tan∠PEF的值是否发生变化?请说明理由.
② 设AE=x,当△PBF是等腰三角形时,请直接写出x的值.
【答案】(1)①证明见解析;②PC=2,BC=5;(2)①tan∠PEF的值不变;②x=或x=或x=.
【解析】
(1)①由勾股定理求BP,利用互余关系证明△APB∽△DCP;②利用相似比求PC,DP, 再根据BC=AD=AP+DP即可求得BC的长;
(2)①tan∠PEF的值不变.理由为:过F作FG⊥AD,垂足为点G. 则四边形ABFG是矩形,同(1)的方法证明△APE∽△GFP,得相似比,再利用锐角三角函数的定义求值;②利用相似比求GP,再矩形性质求出BF,△PBF是等腰三角形,分三种情况讨论:(Ⅰ) 当PB=PF时,根据BF=2AP求值;当BF=BP时,(Ⅱ)根据BP=求值;(Ⅲ) 当BF=PF时,根据PF=即可求出x值.
解:(1)①如图3.2,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=90°,CD=AB=2,
∴在Rt△ABC中,
∠1+∠2=90°,BP=.
又∵∠BPC=90°,
∴∠3+∠2=90°,
∴∠1=∠3.
∴△APB∽△DCP.
②由△APB∽△DCP.
∴,即.
∴PC=2,DP=4.
∴BC=AD=AP+DP=5.
(2)①tan∠PEF的值不变.
理由如下:
如图3.1,过F作FG⊥AD,垂足为点G. 则四边形ABFG是矩形.
∴∠A=∠PGF=90°,FG=AB=2,
∴在Rt△APE中,∠1+∠2=90°,
又∵∠EPF=90°,∴∠3+∠2=90°,
∴∠1=∠3.
∴△APE∽△GFP,
∴.
∴在Rt△EPF中,tan∠PEF=2.
∴tan∠PEF的值不变.
②由△APE∽△GFP.
∴.
∴GP=2AE=2x,
∵四边形ABFG是矩形.
∴BF=AG=AP+GP=2x+1.
△PBF是等腰三角形,分三种情况讨论:
(Ⅰ)当PB=PF时,点P在BF的垂直平分线上.
∴ BF=2AP. 即2x+1=2,
∴x=.
(Ⅱ)当BF=BP时,
BP=BP=
∴2x+1=.
∴x=.
(Ⅲ)当BF=PF时,
∵PF=,
∴(2x)2+22=(2x+1)2,
∴x=.
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【题目】科学研究发现,海平面大气压约是100千帕,它随海拔升高而降低,海拔3000米以下,每升高100米,气压下降约1千帕:3000﹣5000米每升高100米,气压下降约0.8千帕设山的海拔高度为x米,相应的大气压为y千帕.
(1)当0<x<3000时,求y与x之间的函数关系式;
(2)周末,小明和小伙伴登山(山峰海拔小于5000米)游玩,在山顶测得大气压为63.6千帕,则该山峰海拔约为多少米?
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【题目】“宜居襄阳”是我们的共同愿景,空气质量备受人们关注.我市某空气质量监测站点检测了该区域每天的空气质量情况,统计了2013年1月份至4月份若干天的空气质量情况,并绘制了如下两幅不完整的统计图.
请根据图中信息,解答下列问题:
(1)统计图共统计了 天的空气质量情况;
(2)请将条形统计图补充完整;空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数是 ;
(3)从小源所在环保兴趣小组4名同学(2名男同学,2名女同学)中,随机选取两名同学去该空气质量监测站点参观,则恰好选到一名男同学和一名女同学的概率是 .
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【题目】在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这个二次函数的关系解析式;
(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
考生注意:下面的(3)、(4)、(5)题为三选一的选做题,即只能选做其中一个题目,多答时只按作答的首题评分,切记啊!
(3)在平面直角坐标系中,是否存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;
(4)点Q是直线AC上方的抛物线上一动点,过点Q作QE垂直于x轴,垂足为E.是否存在点Q,使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;
(5)点M为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点Q,使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,已知直线y=x与抛物线y=x2交于A、B两点.
(1)求交点A、B的坐标;
(2)记一次函数y=x的函数值为y1,二次函数y=x2的函数值为y2.若y1>y2,求x的取值范围.
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的相交情况,关于下列结论:
①方程ax2+bx=0的两个根为x1=0,x2=﹣4;②b﹣4a=0;③9a+3b+c<0;其中正确的结论有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
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【题目】观察表格:根据表格解答下列问题:
(l) a=______,b=_____,c=_____;
(2) 在右图的直角坐标系中画出函数y=ax2+bx+c的图象,并根据图象,直接写出当x取什么实数时,不等式ax2+bx+c > -3成立;
(3)该图象与x轴两交点从左到右依次分别为A、B,与y轴交点为C,求过这三个点的外接圆的半径.
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【题目】如果把函数y=x2(x≤2)的图象和函数y=的图象组成一个图象,并称作图象E,那么直线y=3与图象E的交点有_____个;若直线y=m(m为常数)与图象E有三个不同的交点,则常数m的取值范围是_____.
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【题目】对于任意一个自然数N,将其各个数位上的数字相加得到一个数,我们把这一过程称为一次操作,把这个得到的数进行同样的操作,不断进行下去,最终会得到一个一位数K,我们把K称为N的“终极数”,并记f(N)=K.例如,456→4+5+6=15→1+5=6,∴f(456)=6.
(1)计算:f(2019)= .f(20192020)= .
(2)有一个三位自然数M=,已知f(M)=4,且x<y<z,请求出所有满足条件的自然数M.
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