Question

【题目】如图，平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，四边形OABC为矩形，

A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动．

（1）直接写出坐标：D（　 　，　 　）；

（2）当四边形PODB是平行四边形时，求t的值；

（3）在平面直角坐标系内是否存在点Q，使得以O、P、D、Q为顶点四边形为菱形，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）5，0；（2）t＝5；（3）满足条件的点Q的坐标为：（8，4）、（﹣3，4）、（3，4）、（2.5，﹣4）．

【解析】

（1）根据中点的定义求出OD的长即可解决问题；

（2）利用平行四边形的性质求出PC＝5即可解决问题；

（3）分四种情形：当P1O＝OD＝5或P2O＝P2D或P3D＝OD＝5或P4D＝OD＝5时，分别求解即可．

解：（1）∵A（10，0），OD＝DA，

∴OA＝10，OD＝DA＝5，

∴D（5，0）．

故答案为5，0．

（2）∵四边形 PODB 是平行四边形，

∴PB＝OD＝5，

∴PC＝5，

∴t＝5．

（3）当P1O＝OD＝5时，由勾股定理可以求得P1C＝3，可得Q1（8，4）

当P2O＝P2D时，作P2E⊥OA，

∴OE＝ED＝2.5，可得Q2（2.5，﹣4），

当P3D＝OD＝5时，作DF⊥BC，由勾股定理，得P3F＝3，

∴P3C＝2，可得Q3（﹣3，4），

当P4D＝OD＝5时，作P4G⊥OA，由勾股定理，得DG＝3，

∴OG＝8，可得Q4（3，4），

综上所述，满足条件的点Q的坐标为：（8，4）、（﹣3，4）、（3，4）、（2.5，﹣4）．