Question

【题目】如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC．此时∠AOM=_______度；

（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部．探究∠AOM与∠NOC之间数量关系，并说明你的理由；

（3）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是多少秒？（直接写出答案即可，不必说明理由）

Answer 1

【答案】（1）120；（2）∠AOM－∠NOC =30°；（3）6秒或24秒

【解析】试题分析：（1）根据OM恰好平分∠BOC，用∠BOC的度数除以2，求出∠BOM的度数，即可求出∠AOM的度数是多少．

（2）首先根据∠AOM-∠NOC=30°，∠BOC=120°，求出∠A0C=60°，然后根据∠AON=90°-∠AOM=60°-∠NOC，判断出∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系即可．

（3）首先设三角板绕点O旋转的时间是x秒，根据∠BOC=120°，可得∠AOC=60°，∠BON=∠COD=30°；然后根据旋转60°时ON平分∠AOC，可得10x=60或10x=240，据此求出x的值是多少即可．

试题解析：（1）∵OM恰好平分∠BOC，

∴∠BOM=120°÷2=60°，

∴∠AOM=180°-60°=120°．

（2）如图3，

，

∠AOM-∠NOC=30°，

∵∠BOC=120°，

∴∠A0C=60°，

∵∠AON=90°-∠AOM=60°-∠NOC，

∴∠AOM-∠NOC=30°．

（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，

∵∠BOC=120°，

∴∠AOC=60°，

∴∠BON=30°，

∴旋转60°时ON平分∠AOC，

∵10x=60或10x=240，

∴x=6或x=24，

即此时三角板绕点O旋转的时间是6或24秒．