Question

在Rt△ABC中，AC=5，AB=12，∠A=90°，以A为圆心，r为半径作⊙O与斜边BC有唯一公共点，则r的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：计算题

分析：先利用勾股定理计算出BC=13，再利用面积法计算出AD=

60

13

，然后分类讨论：当r=AD=

60

13

时，BC与⊙A相切于D，⊙A与斜边BC有唯一公共点；当5＜r≤12时，斜边BC与⊙A相交，且只有一个公共点．

解答：解：作AD⊥BC于D，如图，
在Rt△ABC中，∵AC=5，AB=12，
∴BC=

AB2+AC2

=13，
∵

1

2

AC•AB=

1

2

AD•BC，
∴AD=

60

13

，
当r=AD=

60

13

时，BC与⊙A相切于D，⊙A与斜边BC有唯一公共点；
当5＜r≤12时，⊙A与斜边BC有唯一公共点．
故答案为r=

60

13

或5＜r≤12．

点评：本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．