【题目】如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于E.
(1)求证:四边形AECD是菱形;
(2)若点E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由.
【答案】证明:
(1)∵AB∥CD,即AE∥CD,
又∵CE∥AD,∴四边形AECD是平行四边形. 2分
∵AC平分∠BAD,∴∠CAE=∠CAD,
又∵AD∥CE,∴∠ACE=∠CAD,
∴∠ACE=∠CAE,
∴AE=CE,
∴四边形AECD是菱形;········· 4分
(2)证法一:∵E是AB中点,∴AE=BE.
又∵AE=CE,∴BE=CE,∴∠B=∠BCE,
∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°,
∴2∠BCE+2∠ACE=180°,∴∠BCE+∠ACE=90°.
即∠ACB=90°,∴△ABC是直角三角形.
证法二:连DE,则DE⊥AC,且平分AC,
设DE交AC于F,∵E是AB的中点,∴EF∥BC.
∴BC⊥AC,∴△ABC是直角三角形.······· 8分
【解析】
试题(1)先根据平行四边形的定义证得四边形AECD是平行四边形,根据平行线的性质可得∠ACE=∠CAD,再结合角平分线的性质可得AE=CE,从而证得结论;(2)由AE=CE,AE=BE可得BE=CE,即可得到∠B=∠BCE,由∠B+∠BCA+∠BAC=180可得2∠BCE+2∠ACE=180,即可得到结果.
(1)∵AB∥CD, CE∥AD,
∴四边形AECD是平行四边形.
∵CE∥AD,
∴∠ACE=∠CAD.
∵AC平分∠BAD,
∴∠CAE=∠CAD.
∴∠ACE=∠CAE,
∴AE=CE.
∴四边形AECD是菱形;
(2)∵AE=CE,AE=BE,
∴BE=CE,
∴∠B=∠BCE,
∵∠B+∠BCA+∠BAC=180,
∴2∠BCE+2∠ACE=180,
∴∠BCE+∠ACE=90,即∠ACB=90.
∴△ABC是直角三角形.
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【题目】如图1,在△OAB中,∠OAB=90,∠AOB=30,OB=8.以OB为一边,在△OAB外作等边三角形OBC,D是OB的中点,连接AD并延长交OC于E.
【1】求点B的坐标
【2】求证:四边形ABCE是平行四边形;
【3】如图2,将图1中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长.
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【题目】如图,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和C的距离分别为,1,2
,△ABP绕点B旋转至△CBP′,连结PP′,并延长BP与DC相交于点Q,则∠CPQ的大小为______ (度)
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【题目】如图,已知直线,直线
交
于
点,交
于
点,
是线段
上的一个动点,
(1)若点在线段
(
、
两点除外)上运动,问
,
,
之间的关系是什么?这种关系是否变化?
(2)若点在线段
之外时,
,
,
之间的关系怎样?说明理由
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【题目】如图,已知直线.
这两直线之间一点.
(1)如图1,若与
的平分线相交于点
,若
,求
的度数.
(2)如图2,若与
的平分线相交于点
,
与
有何数量关系?并证明你的结论.
(3)如图3,若的平分线与
的平分线所在的直线相交于点
,请直接写出
与
之间的数量关系.
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【题目】已知在平面直角坐标系中有三点、
、
,请回答如下问题:
(1)在坐标系内描出点的位置:
(2)求出以三点为顶点的三角形的面积;
(3)在轴上是否存在点
,使以
三点为顶点的三角形的面积为10,若存在,请直接写出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山,各栽100棵杨梅树,成活98%.现已挂果,经济效益初步显现,为了分析收成情况,他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅,每棵的产量如折线统计图所示.
(1)分别计算甲、乙两山样本的平均数,并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和;
(2)试通过计算说明,哪个山上的杨梅产量较稳定?
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【题目】如图,一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y= 的图象相交于A、B两点,以AB为边,在直线AB的左侧作菱形ABCD,边BC⊥y轴于点E,若点A坐标为(m,6),tan∠BOE=
,OE=
.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求点D的坐标.
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【题目】某农业观光园将一块面积为的观光园分成
三个区域,分别种植甲、乙、丙三种花卉,且每平方米栽种甲
株或乙
株或丙
株.已知
区域的面积是
的
倍,记A区域的面积为
区域的面积为
.
花卉 项目 | 甲 | 乙 | 丙 |
面积 | |||
株/ | |||
数量 |
(1)完成上表(结果用含的代数式表示).
(2)若三种花卉共栽种株
①求与
的值.
②若三种花卉的单价(都是整数)之和为元,全部栽种共需
元,求种植面积最大的花卉总价.
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