【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是线段AB上一点(0<AD<AB).过点B作BE⊥CD,垂足为E.将线段CE绕点C逆时针旋转90°,得到线段CF,连接AF,EF.设∠BCE的度数为α.
(1)①依题意补全图形.
②若α=60°,则∠CAF=_____°;=_____;
(2)用含α的式子表示EF与AB之间的数量关系,并证明.
【答案】(1)①补图见解析;②30,;(2)EF=ABcosα;证明见解析.
【解析】
(1)①利用旋转直接画出图形,
②先求出∠CBE=30°,再判断出△ACF≌△BCE,得出∠CAF=30°,再利用等腰直角三角形的性质计算即可得出结论;
(2)先判断出△ACF≌△BCE,得出∠CAF=α,再同(1)②的方法即可得出结论.
(1)①将线段CE绕点C逆时针旋转90°,得到线段CF,连接AF,EF,如图1;
②∵BE⊥CD,∠CEB=90°,
∵α=60°,
∴∠CBE=30°,
在Rt△ABC中,AC=BC,
∴AC=AB,
∵∠FCA=90°﹣∠ACE,∠ECB=90°﹣∠ACE,
∴∠FCA=∠ECB=α.
在△ACF和△BCE中,
AC=BC,∠FCA=∠ECB,FC=EC,
∴△ACF≌△BCE(SAS),
∴∠AFC=∠BEC=90°,∠CAF=∠CBE=30°,
∴CF=AC,
由旋转知,CF=CE,∠ECF=90°,
∴EF=CF=
AC=
×
AB=
AB,
∴=
,
故答案为30,;
(2)EF=ABcosα.
证明:∵∠FCA=90°﹣∠ACE,∠ECB=90°﹣∠ACE,
∴∠FCA=∠ECB=α.
同(1)②的方法知,△ACF≌△BCE,
∴∠AFC=∠BEC=90°,
∴在Rt△AFC中,cos∠FCA=.
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA=45°.
∵∠ECF=90°,CE=CF,
∴∠CFE=∠CEF=45°.
在△FCE和△ACB中,
∠FCE=∠ACB=90°,
∠CFE=∠CAB=45°,
∴△FCE∽△ACB,
∴=cos∠FCA=cosα,
即EF=ABcosα.
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【题目】在直角坐标系中,
、
,将
经过旋转、平移变化后得到如图1所示的
.
(1)求经过、
、
三点的抛物线的解析式;
(2)连结,点
是位于线段
上方的抛物线上一动点,若直线
将
的面积分成
两部分,求此时点
的坐标;
(3)现将、
分别向下、向左以
的速度同时平移,求出在此运动过程中
与
重叠部分面积的最大值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于第二、四象限内的A,B两点,与x轴交于点C,与y轴交于点D,点B的坐标是(m,﹣4),连接AO,AO=5,sin∠AOC=
.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)连接OB,求△AOB的面积.
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【题目】图1是一辆登高云梯消防车的实物图,图2是其工作示意图,起重臂AC是可伸缩的,其转动点A距离地面BD的高度AE为3.5m.当AC长度为9m,张角∠CAE为112°时,求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF.(结果精确到0.1m,参考数据:sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40.)
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【题目】每年九月开学前后是文具盒的销售旺季,商场专门设置了文具盒专柜李经理记录了天的销售数量和销售单价,其中销售单价
(元/个)与时间第
天(
为整数)的数量关系如图所示,日销量
(个)与时间第
天(
为整数)的函数关系式为:
直接写出
与
的函数关系式,并注明自变量
的取值范围;
设日销售额为
(元) ,求
(元)关于
(天)的函数解析式;在这
天中,哪一天销售额
(元)达到最大,最大销售额是多少元;
由于需要进货成本和人员工资等各种开支,如果每天的营业额低于
元,文具盒专柜将亏损,直接写出哪几天文具盒专柜处于亏损状态
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【题目】为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备,每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价(单位:万元)成一次函数关系.
(1)求年销售量与销售单价
的函数关系式;
(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元?
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