Question

【题目】如图，已知BD：OD＝2：1，点C在射线OF上，OC＝12．点M是∠EOF内一点，MC⊥OF于点C，MC＝4．在射线CF上取一点A，连结AM并延长交射线OE于点B，作BD⊥OF于点D．

（1）当AC的长度为多少时，△AMC和△BOD相似；

（2）当点M恰好是线段AB中点时，试判断△AOB的形状，并说明理由；

（3）连结BC．当S△AMC＝S△BOC时，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）2或8；（2）△ABO为直角三角形，理由见解析；（3）18

【解析】

（1）由于∠MCA＝∠BDO＝90°，所以△AMC和△BOD相似时分两种情况：①△AMC∽△BOD；②△AMC∽△OBD．则两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等列出关于AC的方程，解方程即可求出AC的长度；

（2）先由MC∥BD，得出△AMC∽△ABD，根据相似三角形对应边的比相等及三角形中位线的性质求出BD＝2MC＝8，OD＝4，CD＝8，AC＝CD＝8，再利用SAS证明△AMC≌△BOD，得到∠CAM＝∠DBO，根据平行线的性质及三角形内角和定理求出∠ABO＝90°，进而得出△ABO为直角三角形；

（3）设OD＝a，根据tan∠EOF＝2得出BD＝2a，由三角形的面积公式求出S△AMC＝2AC，S△BOC＝12a，根据S△AMC＝S△BOC，得到AC＝6a．由△AMC∽△ABD，根据相似三角形对应边的比相等列出关于a的方程，解方程求出a的值，进而得出AC的长．

解：（1）∵∠MCA＝∠BDO＝90°，

∴△AMC和△BOD中，C与D是对应点，

∴△AMC和△BOD相似时分两种情况：

①当△AMC∽△BOD时，＝＝2，

∵MC＝4，

∴＝2，

解得AC＝8；

②当△AMC∽△OBD时，＝＝2，

∵MC＝4，

∴＝2，

解得AC＝2．

故当AC的长度为2或8时，△AMC和△BOD相似；

（2）△ABO为直角三角形．理由如下：

∵MC∥BD，

∴△AMC∽△ABD，

∴＝＝，∠AMC＝∠ABD，

∵M为AB中点，

∴C为AD中点，BD＝2MC＝8．

∵BD：OD＝2：1，

∴OD＝4，

∴CD＝OC﹣OD＝8，

∴AC＝CD＝8．

在△AMC与△BOD中，

，

∴△AMC≌△BOD（SAS），

∴∠CAM＝∠DBO，

∴∠ABO＝∠ABD+∠DBO＝∠AMC+∠CAM＝90°，

∴△ABO为直角三角形；

（3）连结BC，设OD＝a，则BD＝2a．

∵S△AMC＝S△BOC，S△AMC＝ACMC＝2AC，S△BOC＝OCBD＝12a，

∴2AC＝12a，

∴AC＝6a．

∵△AMC∽△ABD，

∴＝，即＝，

解得a1＝3，a2＝﹣（舍去），

∴AC＝6×3＝18．