Question

【题目】以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．

（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；

（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），

①试用含α的代数式表示∠HAE；

②求证：HE=HG；

③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）答：四边形EFGH的形状是正方形．

（2）解：①∠HAE=90°+a，

在平行四边形ABCD中AB∥CD，

∴∠BAD=180°﹣∠ADC=180°﹣a，

∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，

∴∠HAD=∠EAB=45°，

∴∠HAE=360°﹣∠HAD﹣∠EAB﹣∠BAD=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣a）=90°+a，

答：用含α的代数式表示∠HAE是90°+a．

②证明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，

∴AE=AB，DC=CD，

在平行四边形ABCD中，AB=CD，

∴AE=DG，

∵△HAD和△GDC是等腰直角三角形，

∴∠HDA=∠CDG=45°，

∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+a=∠HAE，

∵△HAD是等腰直角三角形，

∴HA=HD，

∴△HAE≌△HDC，

∴HE=HG．

③答：四边形EFGH是正方形，

理由是：由②同理可得：GH=GF，FG=FE，

∵HE=HG，

∴GH=GF=EF=HE，

∴四边形EFGH是菱形，

∵△HAE≌△HDG，

∴∠DHG=∠AHE，

∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，

∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°，

∴四边形EFGH是正方形．

【解析】略