Question

已知二次函数y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（1，0）两点．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）若有一半径为r的⊙P，且圆心P在抛物线上运动，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值．
（3）半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P与y轴相离、相交？

Answer 1

分析：（1）把A（-1，0）、B（1，0）代入y=x²+bx+c得到一个关于b、c的方程组，求出方程组的解即可得出二次函数的关系式；
（2）设点P坐标为（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x，把y=±x分别代入由（1）求出的二次函数的关系式，求出x的值，即可得到半径r的值；
（3）设点P坐标为（x，y），先求出⊙P与y轴相切时x=±1，再根据圆与直线的位置关系的性质（r＜d时相离，r＞d相交）判断即可．

解答：解：（1）把A（-1，0）、B（1，0）代入y=x²+bx+c得：

1-b+c=0 1+b+c=0.

解得

b=0 c=-1.

∴二次函数的关系式是y=x²-1，
答：这个二次函数的关系式是y=x²-1．

（2）设点P坐标为（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x．
由y=x，得x²-1=x，
即x²-x-1=0，
解得x=

1± 5

2

．
由y=-x，得x²-1=-x，
即x²+x-1=0，
解得x=

-1± 5

2

．
∴⊙P的半径为r=|x|=

5 ±1

2

，
答：半径r的值是为

5 ±1

2

．

（3）设点P坐标为（x，y），
∵⊙P的半径为1，
∴当y=0时，x²-1=0，
解得：x=±1，
即⊙P与y轴相切，
又当x=0时，y=-1，
∴当y＞0或y＜-1时，⊙P与y相离；
当-1≤y＜0时，⊙P与y相交，
答：半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在y＞0或y＜-1范围内取值时，⊙P与y轴相离；在-1≤y＜0范围内取值时，⊙P与y轴相交．

点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，解一元二次方程，解二元一次方程组，直线与圆的位置关系等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，题型较好，难度适中．