Question

【题目】如图，在中，∠C=90°，O是斜边AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与BC交于点F，与AC相切于点D，连接DF、BD，且BD平分∠ODF．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，求阴影部分的面积(结果保留)．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）S阴影=．

【解析】

（1）由切线的性质可得∠ODA=90°，可证明OD//BC，根据等腰三角形的性质可得∠ODB=∠OBD，由角平分线的定义可得∠ODB=∠BDF，可证明较OBD=∠BDF，可证明OB//DF，可得四边形ODFB是平行四边形，根据OB=OD可证明四边形ODFB是菱形；

（2）如图，连接OF，根据菱形的性质可证明△OBF是等边三角形，可得∠FBC=60°，可得∠A=30°，根据平行线的性质可得∠FOD=60°，利用∠FOD的正切函数可求出OD的长，根据S阴影=S△ADO-S扇形OED即可求出阴影部分面积．

（1）∵⊙O与AC相切于点D，

∴OD⊥AC，∠ODA=90°，

∵∠C=90°，

∴OD//BC，

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠OBD，

∵BD平分∠ODF，

∴∠ODB=∠BDF，

∴∠OBD=∠BDF，

∴OB//DF，

∴四边形ODFB是平行四边形，

∵OD=OB，

∴四边形ODBF是菱形．

（2）如图，连接OF，

∵四边形ODFB是菱形，

∴OB=BF，

∵OB=OF，

∴△OBF是等边三角形，

∴∠ABC=60°，

∵OD//BC，

∴∠FOD=∠ABC=60°，

∵AD=3，

∴OD==，

∴S阴影=S△ADO-S扇形OED=AD·OD-=．