【题目】综合与实践:
问题情境:在一次综合实践活动课上,同学们以菱形为对象,研究菱形旋转中的问题:
已知,在菱形ABCD中,BD为对角线,,AB=4,将菱形ABCD绕顶点A顺时针旋转,旋转角为
(单位°).旋转后的菱形为
.在旋转探究活动中提出下列问题,请你帮他们解决.
观察证明:
(1)如图1,若旋转角,
与BD相交于点M,AB与
相交于点N.请说明线段DM与
的数量关系;
操作计算:
(2)如图2,连接,菱形ABCD旋转的过程中,当
与AB互相垂直时,
的长为 ;
(3)如图3,若旋转角,分别连接
,
,过点A分别作
,
,连接EF,菱形ABCD旋转的过程中,发现在
中存在长度不变的线段EF,请求出EF长度;
操作探究:
(4)如图4,在(3)的条件下,请判断以,
,
三条线段长度为边的三角形是什么特殊三角形,并说明理由.
【答案】(1),理由见解析;(2)
;(3)2;(4)以
,
,
三条线段为边的三角形是直角三角形,理由见解析
【解析】
(1)根据旋转的性质利用ASA易证得,从而证得
;
(2)证得点在菱形的对角线AC上,即可求解;
(3)利用等腰三角形三线合一的性质证明EF是的中位线,即可求解;
(4)以为边向外作等边三角形
,利用
证得
,求得
,即可求解.
(1),
理由如下:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB= AD.
∴∠ADB=∠ABD,
由旋转的性质可得:,
∴,
∴,
∴,
在和
中,
,
∴(ASA) ,
∴;
(2)连接菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O,
∵四边形ABCD是菱形,且,AB=4,
∴,
∴,则
,
根据旋转的性质,且与AB互相垂直,
∴,
∴点在菱形ABCD的对角线AC上,
∴
∴;
(3)如图,连接BD,
根据旋转的性质可知:
∵ AE⊥D,
∴(等腰三角形三线合一),同理BF=F
,
∴EF是的中位线,
∴,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,
又∵,
是等边三角形,
∴,
∴;
(4)以,
,
三条线段为边的三角形是直角三角形,
理由如下:
如图,以为边向外作等边三角形
,连接DB,CM,
∵四边形ABCD是菱形,,
∴与
是等边三角形,
,
由(3)可知:与
都是等腰三角形,
∴
,
∵与
都是等边三角形,
∴,
,
,
∴,
∴,
在和
中,
,
∴,
∴,
,
∴,
∴是直角三角形,
即以,
,
三条线段长度为边的三角形是直角三角形.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图①,将抛物线平移到顶点恰好落在直线
上,并设此时抛物线顶点的横坐标为
.
(1)求抛物线的解析式(用含、
的代数式表示);
(2)如图②,与抛物线交于
、
、
三点,
,
轴,
,
.
①求的面积(用含
的代数式表示);
②若的面积为1,当
时,
的最大值为-3,求
的值.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在一次数学活动课上,某校初三数学老师带领学生去测河宽,如图所示,某学生在河东岸点处观测到河对岸水边有一点
,测得
在
北偏西
的方向上,沿河岸向北前行20米到达
处,测得
在
北偏西
的方向上,请你根据以上数据,帮助该同学计算出这条河的宽度.(参考数值:tan31°≈
,sin31°≈
)
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在矩形中,
,
,动点
,
分别从点
,
同时出发,点
以
的速度向终点
匀速运动,点
以
的速度向终点
匀速运动,当有一点到达终点时,另一点也停止运动.设运动时间为
.
(1)当时,求四边形
的面积;
(2)当为何值时,
为
?
(3)当为何值时,以点
,
,
为顶点的三角形是等腰三角形?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】下列一组方程:①,②
,③
,…小明通过观察,发现了其中蕴含的规律,并顺利地求出了前三个方程的解第①个方程的解为
;第②个方程的解为
;第③个方程的解为
.若n为正整数,且关于x的方程
的一个解是
,则n的值等于____________.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】阅读理解
如图1,中,沿
的平分线
折叠,剪掉重叠部分;将余下部分沿
的平分线
折叠,剪掉重叠部分;……;将余下部分沿
的平分线
折叠,点
与点
重合,无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,我们就称
是
的好角.
情形一:如图2,沿等腰三角形顶角
的平分线
折叠,点
与点
重合;
情形二:如图3,沿的
的平分线
折叠,剪掉重叠部分;将余下的部分沿
的平分线
折叠,此时点
与点
重合.
探究发现
(1)中,
,经过两次折叠,问
的好角(填写“是”或“不是”);
(2)若经过三次折叠发现是
的好角,请探究
与
(假设
)之间的等量关系 ;
根据以上内容猜想:若经过次折叠
是
的好角,则
与
(假设
)之间的等量关系为 ;
应用提升:
(3)小丽找到一个三角形,三个角分别为,
,
,发现 是此三角形的好角;
(4)如果一个三角形的最小角是,且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角;
则此三角形另外两个角的度数 .
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在同一平面内,将△ABC绕A点逆时针旋转到△ADE的位置.若AC⊥DE,∠ABD=62°,则∠ACB的度数为( )
A.56°B.44°C.34°D.40°
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某小学开展寒假争星活动,学生可以从“自理星”、“读书星”、“健康星”、“孝敬星”等中选一个项目参加争星竞选,根据该校一年级某班学生的“争星”报名情况,绘制成了如下两幅不完整的统计图,请根据图中信息回答下列问题:
(1)参加调查的学生共有 人.
(2)将条形统计图补充完整;
(3)请计算扇形统计图中“读书星”对应的扇形圆心角度数;
(4)根据调查结果,试估计该小学全校3600名学生中争当“健康星”的学生人数.
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