Question

【题目】如图，四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形...如此进行下去，得到四边形则下列结论正确的个数有（ ）

①四边形是矩形；②四边形是菱形；③四边形的周长为； ④四边形的面积是．

A.个B.个C.个D.个

Answer 1

【答案】A

【解析】

首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：
①根据矩形的判定与性质作出判断；
②根据菱形的判定与性质作出判断；

③由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形A5B5C5D5的周长；
④根据四边形AnBnCnDn的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．

解：如下图，连接连接A1C1，B1D1，

∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，
∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；
∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形，
∵AC丄BD，

∴四边形A1B1C1D1是矩形，故①正确；
∴B1D1=A1C1（矩形的两条对角线相等）；
∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位线定理），
∴四边形A2B2C2D2是菱形；
依次类推，可知当n为奇数时四边形AnBnCnDn是矩形，当n为偶数时四边形AnBnCnDn是菱形，故②正确；

根据中位线的性质可知，，

∴四边形A5B5C5D5的周长是，

故③正确；

∵四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S四边形ABCD=ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，

四边形AnBnCnDn的面积是，

故④正确；
综上所述，①②③④正确．
故选：A．