Question

【题目】操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C'处．点P为直线EF上一动点(不与E、F重合)，过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．

（1）如图1，求证：BE=BF；

（2）特例感知：如图2，若DE=5，CF=3，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；

（3）类比探究：如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，若DE=a，CF=b．请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．(不要求写证明过程)

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）QN﹣QM=．

【解析】

（1）证明∠BEF＝∠BFE即可解决问题（也可以利用全等三角形的性质解决问题即可）．
（2）如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形．利用等面积法证明PM＋PN＝EH，利用勾股定理求出AB即可解决问题．
（3）如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．由S△EBPS△BFP＝S△EBF，可得BEPMBFPN＝BFEH，由BE＝BF，推出PMPN＝EH＝，即可得到QNQM＝PMPN＝．

（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DEF=∠EFB，

由翻折可知：∠DEF=∠BEF，

∴∠BEF=∠EFB，

∴BE=BF；

（2）如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH=AB，

∵DE=EB=BF=5，CF=3，

∴AD=BC=8，AE=3，

在Rt△ABE中，∵∠A=90°，BE=5，AE=3，

∴AB=，

∵S△BEF=S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF，

∴BFEH=BEPM+BFPN．

∵BE=BF，

∴PM+PN=EH=4．

∵四边形PMQN是平行四边形，

∴四边形PMQN的周长=2(PM+PN)=8；

（3）如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．

∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b，
∴AD＝BC＝a＋b，
∴AE＝ADDE＝b，
∴EH＝AB＝，
∵S△EBPS△BFP＝S△EBF，
∴BEPMBFPN＝BFEH，
∵BE＝BF，
∴PMPN＝EH＝，
∵四边形PMQN是平行四边形，
∴QNQM＝PMPN＝．