Question

如图，?ABCD中，AB=6，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边CD的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=

5

，则AE的长为

 

．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,等腰三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．

解答：解：∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD，
又∵F为DC的中点，
∴DF=CF，
∴AD=DF=

1

2

DC=

1

2

AB=3，
在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=2，
则AF=2AG=4，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，
在△ADF和△ECF中，

∠DAF=∠E ∠ADF=∠ECF DF=CF

，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF=EF，
则AE=2AF=8．
故答案为：8．

点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．