Question

9．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²平移后经过A（-3，0）、B（1，0），设平移后的抛物线与y轴交于点C，其顶点为D．
（1）求平移后的抛物线解析式和点D的坐标；
（2）求证：∠CAD=∠OCB；
（3）在x轴上是否存在点E，使得△ACE与△OCD相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平移的性质，可设出函数解析式，根据待定系数法，可得答案；再根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据勾股定理，可得三角形三边的长，根据相似三角形的判定与性质，可得答案；
（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得关于b的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）设平移后的解析式为y=x²+bx+c，将B、C点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{9-3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
平移后的抛物线解析式为y=x²+2x-3，
y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
顶点D的坐标是（-1，-4）；
（2）证明：当x=0时，y=-4，即C（0，-3）．
由勾股定理，得
AD=$\sqrt{（-1+3）^{2}+（-4-0）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，DC=$\sqrt{（0+1）^{2}+（-3+4）^{2}}$=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{（0+3）^{2}（-3-0）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
$\frac{AD}{BC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$=$\sqrt{2}$，$\frac{CD}{OB}$=$\frac{\sqrt{2}}{1}$，$\frac{AC}{OC}$=$\frac{3\sqrt{2}}{3}$=$\sqrt{2}$，
∵$\frac{AD}{BC}$=$\frac{CD}{OB}$=$\frac{AC}{OC}$=$\sqrt{2}$，
∴△ACD∽△COB，
∴∠CAD=∠OCB；
（3）如图：

设E（b，0），∠EAC=∠OCD=135°，
DC=$\sqrt{（0+1）^{2}+（-3+4）^{2}}$=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{（0+3）^{2}（-3-0）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，OC=3，AE=-3-b，
当△AEC∽△CDO时，$\frac{AE}{CD}$=$\frac{AC}{OC}$，即$\frac{-3-b}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{3}$，
解得b=-5，即E₁（-5，0）；
当△AEC∽△COD时，$\frac{AE}{CO}$=$\frac{AC}{CD}$，即$\frac{-3-b}{3}$=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$，
解得b=-12，
即E₂（-12，0）．
综上所述：在x轴上存在点E，使得△ACE与△OCD相似，点E的坐标为E₁（-5，0），E₂（-12，0）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用函数图象平移的性质设出函数解析式是解题关键；利用相似三角形的判定与性质是解题关键；利用两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得出关于b的方程是解题关键．