Question

函数y₁=a₁x²+b₁x+c₁，y₂=a₂x²+b₂x+c₂满足

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

=k；（k≠0，1）．则称抛物线y₁，y₂互为“关联抛物线”，则下列关于“关联抛物线”的说法不正确的是（　　）

• A、y₁，y₂开口方向、开口大小不一定相同
• B、若当x=t时y₂有最值，那么此时y₁也有最值
• C、如果y₂的最值为m，则y₁的最值为km
• D、如果y₂与x轴的两交点间距离为d，则y₁与x轴的两交点间距离为|k|d

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：新定义

分析：由于

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

=k，而k≠1，则a₁≠a₂，于是根据二次项系数的意义对A进行判断；利用比例的性质得-

b1

2a1

=-

b2

2a2

，根据二次函数的性质得到“关联抛物线”的对称轴相同，于是可对B进行判断；由比例的性质得到a₁=kb₂，b₁=kb₂，c₁=kc₂，再利用顶点的坐标公式对C进行判断；根据抛物线与x轴两交点间的距离公式对D进行判断．

解答：解：A、由于

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

=k，而k≠1，则a₁≠a₂，所以y₁，y₂开口方向不一定相同，开口大小不相同，所以A选项的说法正确；
B、由于

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

=k，则

b1

a1

=

b2

a2

，即-

b1

2a1

=-

b2

2a2

，所以“关联抛物线”的对称轴相同，所以B选项的说法正确；
C、由于

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

=k，则a₁=kb₂，b₁=kb₂，c₁=kc₂，y₁的最值=

4a1c1-b12

4a1

=

4ka2•kc2-(kb2)2

4ka2

=k•

4a2c2-b22

4a2

=km，所以C选项的说法正确；
D、由于

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

=k，则a₁=kb₂，b₁=kb₂，c₁=kc₂，y₁与x轴的两交点间距离=

4a1c1-b12

|a1|

=

k2(4a2c2-b22)

|ka2|

=

4a2c2-b22

|a2|

=d，所以D选项的说法错误．
故选D．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x=-

b

2a

时，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x=-

b

2a

时，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最高点．也考查了抛物线与x轴两交点间的距离公式．