Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AH⊥BC于点H，M为线段AH上一点（与A，H不重合）连CM，BM．
（1）求证：BM=CM；
（2）在（1）的基础上作∠MAN=90°，AM=AN，试判断BM与BN的数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由等腰三角形的性质可以得出AH是BC的中垂线而得出结论；
（2）由等式的性质可以得出∠BAM=∠BAN，就可以都得出△BAM≌△BAN，进而得出结论．

解答：解：（1）证明：∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH，∠BAH=

1

2

∠BAC．
∵∠BAC=90°，
∴AH⊥BC，∠BAH=45°，
∴AH是BC的中垂线．
∴BM=CM；
（2）BM=BN．
理由：∵∠MAN=90°，且，∠BAH=45°，
∴∠BAN=45°，
∴∠BAM=∠BAN，
在△BAM和△BAN中，

AM=AN ∠BAM=∠BAN BA=BA

，
∴△BAM≌△BAN（SAS），
∴BM=BN．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，等腰三角形的“三线合一”性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．