Question

15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，使点A落在BD上的点G处，延长EG交BC于点F．
（1）点E可以是AD的中点吗？为什么？
（2）当四边形EFCD为平行四边形时，
①求证：△ABD∽△DCB；
②设AD=a，AB=b，BC=c，求证：a²+b²=ac．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质可得AE=EG，然后根据∠EGD=90°，可得ED＞EG=AE，可得E不可能是AD中点；
（2）①根据折叠的性质，可得∠BGE=∠BAD=90°，根据平行四边形的性质可得∠BDC=∠BGF=90°，又AD∥BC，得出∠ADB=∠CBD，继而可证明△ABD∽△DCB；
②根据相似三角形对应边成比例以及勾股定理得知识，可证明a²+b²=ac．

解答 解：（1）不可以，由折叠可得，AE=EG．
在Rt△DEG中，ED＞EG，即ED＞AE．
∴E不可能是AD中点；

（2）①∵点A折叠到点G，
∴∠BGE=∠BAD=90°，
∵四边形EFCD为平行四边形，
∴∠BDC=∠BGF=90°，
又∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴△ABD∽△DCB；
②∵△ABD∽△DCB，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CB}$，
∴BD²=AD•CB=ac，
又∵△ABD为Rt△ABD，
∴BD²=AD²+AB²=a²+b²，
∴a²+b²=ac．

点评 本题考查了四边形综合题，涉及了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，折叠的性质，综合性较强，难度较大，需仔细分析，认真研究，结合图形理清题目边长之间的关系是解题的关键，本题对同学们的能力要求较高．