Question

【题目】如图，在⊙中，AB是直径，BC是弦，BC=BD，连接CD交⊙于点E，∠BCD=∠DBE.

（1）求证：BD是⊙的切线.

（2）过点E作EF⊥AB于F，交BC于G，已知DE=，EG=3，求BG的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BG的长为5.

【解析】

（1）连接AE，根据圆周角定理可得∠BAE=∠BCE，由AB是直径可得∠AEB=90°,进而可得∠BAE+∠ABE=90°，由∠BCD=∠DBE.利用等量代换即可求出∠ABD=90°，可得BD是⊙O的切线；（2）延长EF交⊙O于H，根据垂径定理可得，进而可得∠ECB=∠BEH，由∠EBC是公共角即可证明△EBC∽△GBE，根据相似三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得∠D=∠BCE，利用等量代换可得∠D=∠DBE，可得BE=DE，由∠AFE=∠ABD=90°可得EF//BD，根据平行线性质可得∠D=∠CEF，即可证明∠BCE=∠CEF，可得CG=GE，即可得出BC=BG+EG，代入求出BG的长即可.

（1）如图，连接AE，则∠BAE=∠BCE，

∵AB是直径，

∴∠AEB=90°，

∴∠BAE+∠ABE=90°，

∴∠ABE+∠BCE=90°，

∵∠BCE=∠DBE，

∴∠ABE+∠DBE=90°，即∠ABD=90°，

∴BD是⊙O的切线.

（2）如图，延长EF交⊙O于H，

∵EF⊥AB，AB是直径，

∴，

∴∠ECB=∠BEH，

∵∠EBC=∠GBE，

∴△EBC∽△GBE，

∴，

∵BC=BD，

∴∠D=∠BCE，

∵∠BCE=∠DBE，

∴∠D=∠DBE，

∴BE=DE=，

∵∠AFE=∠ABD=90°，

∴BD∥EF，

∴∠D=∠CEF，

∴∠BCE=∠CEF，

∴CG=GE=3，

∴BC=BG+CG=BG+3，

∴，

∴BG=-8（舍）或BG=5，

即BG的长为5.