Question

如图，线段AB在直线L上，点C是直线L上一动点．
（1）AD⊥AB，AD=AB，CE⊥CD，BE⊥BD，试判断线段CD和CE的数量关系，并证明；
（2）过点C作CF⊥BD于F，则线段DF、CF、BE之间是否存在某种数量关系，猜想结论并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）过点C作CH⊥AB交BD于H，判断出△BCH是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BC=CH，∠CBH=∠CHB=45°，然后求出∠CBE=∠CHD=135°，再根据等角的余角相等求出∠E=∠CDH，然后利用“角角边”证明△BCE和△HCD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=CD；
（2）过点C作CH⊥AB交BD于H，同（1）可得△BCE和△HCD全等，根据全等三角形对应边相等可得DH=BE，再根据等腰直角三角形的性质可得FH=CF，然后根据DF=DH+FH等量代换即可得证；

解答：解：（1）如图，过点C作CH⊥AB交BD于H，
∵AD⊥AB，AD=AB，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，
∴△BCH是等腰直角三角形，
∴BC=CH，∠CBH=∠CHB=45°，
∵BE⊥BD，
∴∠CBE=∠CHD=135°，
∵CE⊥CD，BE⊥BD，
∴∠E=∠CDH，
在△BCE和△HCD中，

∠E=∠CDH ∠CBE=∠CHD=135° BC=CH

，
∴△BCE≌△HCD（AAS），
∴CE=CD；
（2）DF=BE+CF，
理由：过点C作CH⊥AB交BD于H，同（1）可得△BCE和△HCD全等，
所以DH=BE，
∵△BCH是等腰直角三角形，CF⊥BD，
∴FH=CF，
∵DF=DH+FH，
∴DF=BE+CF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，难点在于作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形，此类题目，各小问的求解思路相同是解题的关键．