Question

如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，S_ABCD=

16 3

3

，求AE的长；
（3）在（1）、（2）条件下，若AD=3，求BF的长（计算结果可含根号）

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）利用平行四边形的性质可得到∠BFA=∠D，结合条件可证得△ABF∽△EAD；
（2）利用平行四边形的面积公式，结合勾股定理可求得AE；
（3）利用（1）中相似三角形，得到线段成比例，可求得BF．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BAF=∠AED，∠C+∠D=180°，
∵∠C=∠BFE，∠BFE+∠BFA=180°，
∴∠D=∠BFA，
∴△ABF∽△EAD；
（2）解：∵S_ABCD=

16 3

3

，
∴AB•BE=

16 3

3

，
∵AB=4
∴BE=

4 3

3

，
∴AE²=AB²+BE²=4²+（

4 3

3

）²，
∴AE=

8 3

3

；
（3）解：由（1）有

AB

EA

=

BF

AD

，
又∵AD=3，
∴BF=

AB×AD

EA

=4×3×

3

8 3

=

3 3

2

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键．注意方程思想的应用．