Question

如图，△ABC中，AB=AC，AD∥BC．
（1）用圆规和直尺作△ABC的外接圆⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=AC=5，BC=6，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：作图—复杂作图,勾股定理,三角形的外接圆与外心,切线的判定

专题：

分析：（1）作BC与AC的垂线，交于点O，点O就是△ABC的外心，
（2）连接AO并延长交BC于点E，连接OB、OC，可确定AO垂直平分BC．由AD∥BC，即可得出AD与⊙O相切于点A．
（3）由AO垂直平分BC，可得出∠AEB=90°，BE=

1

2

BC=3．在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=4．设⊙O的半径为r．运用勾股定理即可得出⊙O的半径．

解答：解：（1）如图，

（2）AD与⊙O相切．
连接AO并延长交BC于点E，连接OB、OC．
∵AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上．
∵OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上．
∴AO垂直平分BC．
又∵AD∥BC，
∴AO⊥AD．
又∵点A在⊙O上，
∴AD与⊙O相切于点A．
（3）在△ABC中，
∵AO垂直平分BC，
∴∠AEB=90°，BE=

1

2

BC=3．
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=4．
设⊙O的半径为r．
在Rt△OBE中，
∵OB²=OE²+BE²，
∴r²=（4-r）²+3²．
解得r=

25

8

．
答：⊙O的半径为

25

8

．

点评：本题主要考查了复杂作图，勾股定理，三角形的外接圆与外心及切线判定，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本图．