Question

如图，⊙O的半径为3，C是⊙O外一点，且OC=6，过点C作⊙O的两条切线CB，CD．切点分别为B，D，连接BO并延长交切线CD于点A．
（1）求AD的长；
（2）若M是⊙O上一动点，求CM长的最大值，并说明理由．

Answer 1

考点：切线的性质,含30度角的直角三角形,勾股定理

专题：

分析：（1）连接OD，根据切线的性质，判断△AOD，△ABC为直角三角形，再根据直角三角形的性质以及勾股定理进行解答；
（2）延长CO交⊙O于点M，点M即为所要求的最大值的点，再求其长度即可．

解答：解：（1）连接OD，
∵CD是⊙O的切线
∴OD⊥AC
∵OD=3，OC=6
∴OD=

1

2

OC
∴∠OCD=30°
∵CD，CB是⊙O的切线
∴∠ACB=2∠OCD=60°
∴∠A=30°
∴OA=2OD=6，
在Rt△AOD中
AD=

OA2-OD2

=

62-32

=3

3

；
（2）延长CO交⊙O于点M，所以点M即为所要求的最大值的点
∵⊙O的半径为3，所以EM=6，
∵OC=6，
∴CE=3
∴CM=CE+EM=3+6=9．

点评：本题考查切线的性质和判定、勾股定理、直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出线段之间的关系进行解答．