Question

18．四边形ABCD是矩形，MN垂直平分对角线BD于O，交AD于M，交BC于N，求证：四边形MBND是菱形．

Answer 1

分析 由矩形的性质得出∠MDO=∠NBO，由ASA证明△MOD≌△NOB，得出OM=ON，证出四边形MBND是平行四边形，再由MN⊥BD，即可得出结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠MDO=∠NBO，
∵MN垂直平分对角线BD，
∴OD=OB，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MDO=∠NBO}&{\;}\\{OD=OB}&{\;}\\{∠MOD=∠NOB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△MOD≌△NOB（ASA），
∴OM=ON，
∴四边形MBND是平行四边形，
又∵MN⊥BD，
∴四边形MBND是菱形．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．