Question

5．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于30%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系，且x=55时，y=45；x=65时，y=35．
（1）求销售量y（件）与销售单价x（元）符合的函数的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于300元，试确定销售单价x的范围．

Answer 1

分析 （1）列出二元一次方程组解出k与b的值即可求出一次函数的表达式；
（2）依题意求出W与x的函数表达式，运用二次函数的性质解答商场可获得最大利润；
（3）把w=300代入（2）中二次函数表达式，解方程即可确定销售单价x的范围．

解答 解：（1）根据题意得
$\left\{\begin{array}{l}{55k+b=45}\\{65k+b=35}\end{array}\right.$，
解得k=-1，b=100．
所求一次函数的表达式为y=-x+100．
（2）W=（x-60）•（-x+100）
=-x²+160x-6000
=-（x-80）²+400，
∵抛物线的开口向下，
∴当x＜80时，W随x的增大而增大，
∵销售单价不低于成本单价，且获利不得高于30%，
即60≤x≤60×（1+30%），
∴60≤x≤78，
∴当x=78时，W=-（78-80）²+400=396．
∴当销售单价定为78元时，商场可获得最大利润，最大利润是396元．
（3）由W≥300，得300≤-x²+160x-6000，
整理得，x²-160x+6300≤0，
而方程x²-160x+6300=0的解为 x₁=70，x₂=90．
即x₁=70，x₂=90时利润为300元，而函数W=-x²+160x-6000的开口向下，所以要使该商场获得利润不低于300元，销售单价应在70元到90元之间，
而60元/件≤x≤78元/件，
所以，销售单价x的范围是70元/件≤x≤78元/件．

点评 本题主要考查了函数模型的选择与应用，熟悉简单数学建模思想以及二次函数性质和不等式的应用是解决问题的关键．