Question

14．如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A，D），Q是BC边上的任意一点，连接AQ，DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．
（1）求证：△APE∽△PDF；
（2）设AP=x，求四边形EQDP的面积S（用含x的代数式表示出来）；若四边形EQDP的面积等于2$\frac{1}{4}$时，说明PE与DQ的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据PE∥QD得出的同位角相等即可证得两三角形相似．
（2）由PE∥DQ，得到△APE∽△AQD，根据相似三角形的性质得到$\frac{{S}_{△APE}}{{S}_{△AQD}}$=（$\frac{AP}{AD}$）²=$\frac{{x}^{2}}{9}$，求出S_△AQD=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD=3，于是得到S=S_△AQD-S_△APE=-$\frac{1}{3}$x²+3，根据四边形EQDP的面积等于2$\frac{1}{4}$，列方程即可得到结论．

解答 解：（1）△APE∽△PDF，
∵PE∥DQ，
∴∠APE=∠PDF，
∵PF∥AQ，
∴∠DPF=∠PAE，
∴△APE∽△PDF；

（2）∵PE∥DQ，
∴△APE∽△AQD，
∴$\frac{{S}_{△APE}}{{S}_{△AQD}}$=（$\frac{AP}{AD}$）²=$\frac{{x}^{2}}{9}$，
∵S_△AQD=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD=3，
∴S_△APE=$\frac{{x}^{2}}{3}$，
∴S=S_△AQD-S_△APE=-$\frac{1}{3}$x²+3，
若四边形EQDP的面积等于2$\frac{1}{4}$时，
即2$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{3}$x²+3，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
∴AP=$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$AD，
∴PE=$\frac{1}{2}$DQ．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定和性质、图形面积的求法、二次函数的应用，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．