Question

【题目】如图，正方形的边长为， 、、、分别是、、、边上的动点（不含端点），且、均过正方形的中心．

（1）填空： （“＞”、“＜”、“＝”）；

（2）当四边形为矩形时，请问线段与应满足什么数量关系；

（3）当四边形为正方形时， 与交于点，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）;（2）或;（3）.

【解析】试题分析(1) 根据过正方形的中心,正方形是中心对称图形,所以OH=OF;

(2)根据一线三等角证得∽, ， ,依据求得x和y的函数关系式,从而找到与的数量关系.

(3) 当四边形为正方形时，证得∽,得到 ,从而,再证∽,得到,因此当最小时，即为垂线段时， 最小，计算即可求出最小值.

试题解析:

（1）

（2）当四边形为矩形时，

∴

在正方形中，

∴

∴

∴∽

∴

令， ，显然

得到

∴或

∴或

（3）当四边形为正方形时，

∴

∴

∵

∴∽

∴，即

∴

∵,

∴∽

∴即

∴

因此当最小时，即为垂线段时， 最小，且等于.

点睛: 本题四边形综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质勾股定理等知识．解题的关键是利用相似三角形的对应边成比例进行线段的等量代换，利用分类讨论的数学思想解答本题,属于中考压轴题．