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【题目】已知直线y=kx+6k0)分别交x轴、y轴于AB两点,线段OA上有一动点P由原点O向点A运动,速度为每秒2个单位长度,过点Px轴的垂线交直线AB于点C,设运动时间为t秒.

1)当k=-1时,线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动,它与点P以相同速度同时出发,当点P到达点A时两点同时停止运动(如图1).

①直接写出t=1秒时CQ两点的坐标;

②若以QCA为顶点的三角形与AOB相似,求t的值.

2)当k=-时,设以C为顶点的抛物线y=x+m2+n与直线AB的另一交点为D(如图2),①求CD的长;②设CODOC边上的高为h,当t为何值时,h的值最大?

【答案】(1) C24);Q40);②1.5秒或2秒;(2)CD=;②当t秒时,h的值最大.

【解析】

1)①求出函数解析式,求出AB的坐标,当t=1,求出OP=2AQ=2,从而得到CQ的解析式;

②由题意得,P2t0),C2t-2t+6),Q6-2t0),分两种情况讨论:情形一:当△AQC∽△AOB时,∠AQC=AOB=90°;情形二:当△ACQ∽△AOB时,∠ACQ=AOB=90°

2)①由题意得:C2t-t+6),根据△DEC∽△AOB,得到,求出CD的长;

SCOD为定值,要使OC边上的高h的值最大,只要OC最短,当OCAB时,OC最短,此时OC的长为,判断出RtPCORtOAB,得到,解答即可.

1)当k=-1时,直线为y=-x+6,可知,A60),B06),

t=1时,OP=2,得C24);AQ=2,得Q40).

②由题意得,P2t0),C2t-2t+6),Q6-2t0),

分两种情况讨论:情形一:当△AQC∽△AOB时,∠AQC=AOB=90°

CQOA

CPOA

∴点P与点Q重合,OQ=OP,即6-2t=2t

t=1.5

情形二:当△ACQ∽△AOB时,∠ACQ=AOB=90°

OA=OB=6

∴△AOB是等腰直角三角形,

∴△ACO也是等腰直角三角形,

CPOA

AQ=2CP,即2t=2-2t+6),

t=2

∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒.

2)①由题意得:C2t-t+6),

∴以C为顶点的抛物线解析式是y=x-2t2-t+6

由(x-2t2-t+6=-x+6

解得x1=2tx2=2t-

过点DDECP于点E,则∠DEC=AOB=90°

DEOA

∴∠EDC=OAB

∴△DEC∽△AOB

AO=8AB=10

AO=8AB=10

DE=2t-2t-=

②∵CD=

CD边上的高=

SCOD=

SCOD为定值,要使OC边上的高h的值最大,只要OC最短,当OCAB时,OC最短,此时OC的长为,∠BCO=90°

∵∠AOB=90°

∴∠COP=90°-BOC=OBA

又∵CPOA

RtPCORtOAB

2t=

t=

∴当t秒时,h的值最大.

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x

1

2

4

5

6

8

9

y

3.92

1.95

0.98

0.78

2.44

2.44

0.78

小风根据学习函数的经验,利用上述表格所反映出的yx之间的变化规律,对该函数的图象和性质进行了探究.

下面是小风的探究过程,请补充完整:

1)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象;

2)根据画出的函数图象,写出:

x7对应的函数值y约为多少;

②写出该函数的一条性质.

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A.O是△AEB的外心,O不是△AED的外心

B.O是△BEC的外心,O不是△BCD的外心

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