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【题目】如图1,在平面直角坐标系xoy中,二次函数的图象与x轴的交点为AB,顶点为C,点D为点C关于x轴的对称点,过点A作直线lBD于点E,连接BC的直线交直线lK.

1)问:在四边形ABKD内部是否存在点P,使它到四边形ABKD四边的距离都相等?

若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

2)若MN分别为直线AD和直线l上的两个动点,连结DNNMMK,如图2,求DN+NM+MK和的最小值.

【答案】(1) 四边形ABCD内部存在点P2)到四边形ABCD四边的距离相等;(28.

【解析】

1)由抛物线解析式求点ABCD的坐标,求直线BC解析式,把直线BC与直线l的解析式联立方程组,求得的解为点K坐标,因此求得AB=BK=KD=AD=4,即四边形ABKD为菱形.由菱形性质可知对角线平分一组对角,故对角线AKBD交点E在菱形四个内角的平分线上,所以点E到四边距离相等,即为符合题意的点P

2)由菱形性质可知点BD关于直线AK对称,故有DN=BN,所以当点BNM在同一直线上时,DN+MN=BN+MN=BM最小.作点K关于直线AD对称点Q,得MK=MQ,所以当点QMB在同一直线上时,BM+MK=BM+MQ=BQ最小,即BQ的长为DN+NM+MK的最小值.由AK平分∠DAB可求得点K到直线AD距离等于点K的纵坐标,进而求得KQ的长;再由BKAD得∠BKQ=DRQ=90°,利用勾股定理即求得BQ的长.

1)在四边形ABKD内部存在点P到四边形ABKD四边的距离都相等.

y=0时,

解得:x1=-1x2=3

A-10),B30),AB=4

∴顶点C1-2

∵点D为点C关于x轴的对称点

D12),

设直线BC解析式为y=bx+c

, 解得:

∴直线BC

,解得:

K52

DKx轴,DK=5-1=4

AB=BK=DK=AD=4

∴四边形ABKD是菱形

∴对角线AKBD平分一组对角,

AKBD交点E1)到菱形四边距离相等

∴点P与点E重合时,即符合题意的点

∴在四边形ABKD内部存在点P1)到四边形ABKD四边的距离都相等.

2)过点KKFx轴于点F,作点K关于直线AD的对称点QKQ与直线AD相交于点R,连接MQQBNB

∵菱形ABKD中,AKBD互相垂直平分

∴点BD关于直线AK对称

DN=BN

∴当点BNM在同一直线上时,DN+NM=BN+NM=BM最小

∵点KQ关于直线AD对称

KQADQR=KRMK=MQ

∴当点QMB在同一直线上时,BM+MK=BM+MQ=BQ最小

BQ的长为DN+NM+MK的最小值

AK平分∠DABKFABKRADyK=2

KF=KR=2

KQ=2KR=4

BKAD

∴∠BKQ=DRQ=90°

RtBKQ中,BQ=

DN+NM+MK和的最小值为8

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成绩x(分)分数段

频数(人)

频率

50≤x<60

10

0.05

60≤x<70

30

0.15

70≤x<80

40

0.2

80≤x<90

m

0.35

90≤x<100

50

n

频数分布直方图

根据所给的信息,回答下列问题:

1m=________n=________

2)补全频数分布直方图;

3)这200名学生成绩的中位数会落在________分数段;

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求作:⊙O 的一条切线,使这条切线经过点 P

作法:①连接 OP,作 OP 的垂直平分线 l,交 OP 于点 A

②以 A 为圆心,AO 为半径作圆,交⊙O 于点 M

③作直线 PM,则直线 PM 即为⊙O 的切线.

根据小芸设计的尺规作图过程,

1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)

2)完成下面的证明:

证明:连接 OM

由作图可知,A OP 中点,

OP 为⊙A 直径,

∴∠ 90°( )(填推理的依据)

OMPM

又∵点 M 在⊙O 上,

PM 是⊙O 的切线.( )(填推理的依据)

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