Question

【题目】已知∠ACD＝90°，AC＝DC，MN是过点A的直线，DB⊥MN于点B．

（1）如图，求证：BD+AB＝BC；

（2）直线MN绕点A旋转，在旋转过程中，当∠BCD＝30°，BD＝时，求BC的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BC＝+1或﹣1．

【解析】

(1)过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，易证：∠BCD＝∠ACE，∠CBD＝∠CEA，进而证明△ACE≌△DCB（AAS），可得：△ECB为等腰直角三角形，即：BE＝CB，进而得到结论；

(2)分两种情况讨论：①当C，D在直线MN的同侧时，②当C，D在直线MN的异侧时，分别求出BC的值，即可.

（1）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，如图1，

∵∠ACB+∠BCD＝90°，∠ACB+∠ACE＝90°，

∴∠BCD＝∠ACE，

∵DB⊥MN，

∴∠ABC+∠CBD＝90°，

∵CE⊥CB

∴∠ABC+∠CEA＝90°，

∴∠CBD＝∠CEA．

又∵AC＝DC，

∴△ACE≌△DCB（AAS），

∴AE＝DB，CE＝CB，

∴△ECB为等腰直角三角形，

∴BE＝CB．

又∵BE＝AE+AB，

∴BE＝BD+AB，

∴BD+AB＝CB.

（2）①当C，D在直线MN的同侧时，连接AD，过点D作DF⊥BC于点F，如图2，

∵AC＝CD，∠ACD＝90°，

∴∠CAD＝∠ADC＝45°，

∵∠ACD＝∠ABD＝90°，

∴点A，点C，点D，点B四点共圆，

∴∠CAD＝∠CBD＝45°，且DF⊥BC，

∴∠FBD＝∠FDB＝45°，且BD＝，

∴BF＝DF＝1，

∵∠BCD＝30°，DF⊥BC，

∴CF＝DF＝，

∴BC＝CF+BF＝+1，

②当C，D在直线MN的异侧时，连接AD，过点D作DF⊥BC于点F，如图3，

∵AC＝CD，∠ACD＝90°，

∴∠CAD＝∠ADC＝45°，

∵∠ACD＝∠ABD＝90°，

∴点A，点C，点D，点B四点共圆，

∴∠CAD＝∠DBF＝45°，且DF⊥BC，

∴∠FBD＝∠FDB＝45°，且BD＝，

∴BF＝DF＝1，

∵∠BCD＝30°，DF⊥BC，

∴CF＝DF＝，

∴BC＝CF﹣BF＝﹣1．

图1 图2 图3