Question

【题目】如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）点P的坐标为（2，-3）

【解析】分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；
（2）设抛物线与x轴的另一交点为C，根据（1）所得的函数解析式即可求得A、B、C的坐标；在△ABP中，AB的长为定值，若三角形的周长最小，那么AP+BP的长最小；由于A、C关于抛物线的对称轴对称，若连接BC，那么BC与对称轴的交点即为所求的P点，可先求出直线BC的解析式，然后联立抛物线的对称轴方程，即可求得P点的坐标．

详解：（1）根据题意，联立方程组解得 ，

∴二次函数的表达式为，

（2）令y=0，得二次函数的图象与x轴

的另一个交点坐标C（5, 0）.

由于P是对称轴上一点，

连结AB，由于，

要使△ABP的周长最小，只要最小.

由于点A与点C关于对称轴对称，连结BC交对称轴于点P，则= BP+PC =BC，根据两点之间，线段最短，可得的最小值为BC.

因而BC与对称轴的交点P就是所求的点

设直线BC的解析式为，根据题意，可得解得

所以直线BC的解析式为

因此直线BC与对称轴的交点坐标是方程组的解，解得

所求的点P的坐标为（2，-3）