Question

如图，点A、B、C在同一条直线上，分别以AB、BC为边在直线AC的同侧作等边三角形△ABD、△BCE．连接AE、DC，AE与DC所在直线相交于F，连接FB．判断线段FB、FE与FC之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：首先根据题意证明△ABE≌△DBC，进而证明B、C、E、F四点共圆；通过作辅助线构造出一对全等三角形，利用全等三角形的性质来证明FB=FC-FE成立．

解答：解：FB=FC-FE．证明如下：
∵△ABD、△BCE均为等边三角形，∴AD=BD，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABE=∠CBD=180°-60°=120°；
在△ABE与△DBC中，

AB=DB ∠ABE=∠DBC BE=BC

，
∴△ABE≌△DBC（SAS）．
∴∠FEB=∠FCB；故B、C、E、F四点共圆．
∴∠FBE=∠KCE；∠EFC=∠EBC=60°，∠BFC=∠BEC=60°，故∠BFE=120°；
在FC上截取线段FK，使FK=FE，连接EK；
∵∠EFK=60°，
∴△EFK为等边三角形，∠EKF=60°；
∴∠EKC=180°-60°=120°；而∠BFE=120°，；
∴∠BFE=∠CKE；
在△FBE与△KCE中：

∠FBE=∠KCE ∠BFE=∠CKE BE=CE

，
∴△ABE≌△DBC（AAS），
∴FB=KC，而KC=FC-FK=FC-FE，
∴FB=FC-FE．

点评：命题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质及其应用问题；解题的关键是通过证明一对全等三角形来判断四点共圆；通过构造一对全等三角形，借助圆的有关性质来解决问题．