Question

17．如图，在△ABC中，∠C为直角，BD平分∠ABC交AC于D，在AB上取一点O，以点O为圆心作经过B，D的⊙O，⊙O分别交AB，BC于E，F，连DE，EF，EF交BD于G．
（1）证明：AC与⊙O相切；
（2）若DE=2，BG=3，求sin∠A．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图，由BD平分∠ABC交AC于D得到∠OBD=∠CBD，加上∠OBD=∠ODB，则∠CBD=∠ODB，于是可判断OD∥BC，则∠ADO=∠C=90°，然后根据切线的判定定理可得AC与⊙O相切；
（2）先根据圆周角定理得到∠BDE=90°，∠BFE=90°，∠DEG=∠FBG，则∠DEG=∠DBE，则可判断Rt△DEG∽Rt△DBE，利用相似比可计算出BD=4，于是在Rt△BDE中，根据勾股定理计算出BE=2$\sqrt{5}$，接着证明Rt△BED∽Rt△BGF，利用相似比可计算出BF=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，然后在Rt△BEF中，根据正弦的定义得到sin∠BEF=$\frac{BF}{BE}$=$\frac{3}{5}$，再证明EF∥AC，得到∠A=∠BEF，这样就可得到sinA=$\frac{3}{5}$．

解答 （1）证明：连结OD，如图，
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠OBD=∠CBD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠CBD=∠ODB，
∴OD∥BC，
∴∠ADO=∠C=90°，
∴OD⊥AC，
∴AC与⊙O相切；
（2）解：∵BE为直径，
∴∠BDE=90°，∠BFE=90°
∵∠DEG=∠FBG，
∴∠DEG=∠DBE，
∴Rt△DEG∽Rt△DBE，
∴DE：BD=DG：DE，即2：BD=（BD-3）：2，
整理得BD²-3BD-4=0，解得BD=4或BD=-1（舍去），
在Rt△BDE中，BE=$\sqrt{B{D}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠EBD=∠CBD，
∴Rt△BED∽Rt△BGF，
∴$\frac{BE}{BG}$=$\frac{BD}{BF}$，即$\frac{2\sqrt{5}}{3}$=$\frac{4}{BF}$，解得BF=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△BEF中，sin∠BEF=$\frac{BF}{BE}$=$\frac{\frac{6\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{3}{5}$，
∵∠BFE=∠C=90°，
∴EF∥AC，
∴∠A=∠BEF，
∴sinA=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．