Question

2．如图，
（1）在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，如图1，图2，选择其中一个图形，探究PE、PF之间存在什么数量关系，并证明你的结论．
（2）若将“P是线段AD上的动点”改成“P是线段AD延长线上一动点”，如图3所示，请继续探究PE、PF之间存在什么数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据△AEP∽△ADC；△DFP∽△DAB找出关系式解答即可得出结果；
（2）由△APC的面积=△ADC的面积+△PDC的面积，再由PD=$\frac{5}{3}$PE，即可得出结果．

解答 （1）解：PE+PF=$\frac{12}{5}$；理由如下：设AP=x，PD=4-x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，BD=AC，
∴由勾股定理得：AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ADC；
∴△AEP∽△ADC，
∴$\frac{PE}{CD}=\frac{AP}{AC}$，即$\frac{PE}{3}=\frac{x}{5}$①；
同理可得△DFP∽△DAB，
∴$\frac{PF}{3}=\frac{4-x}{5}$②，
①+②得$\frac{PE+PF}{3}$=$\frac{4}{5}$，
∴PE+PF=$\frac{12}{5}$；
（2）解：PF-PE=$\frac{12}{5}$，理由如下：
∵△APC的面积=△ADC的面积+△PDC的面积，
∴$\frac{1}{2}$AC•PF=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×3×PD，
∴5PF=12+3PD，
∵$\frac{PE}{PD}=\frac{AB}{BD}$=$\frac{3}{5}$，
∴PD=$\frac{5}{3}$PE，
∴5PF+12=5PE，
∴PF-PE=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．