Question

如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线y=a（x﹣2）²+k经过A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P，

（1）求a，k的值；

（2）在图中求一点Q，A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出相应的点Q的坐标；

（3）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ABM的周长最小？若存在，求△ABM的周长；若不存在，请说明理由；

（4）抛物线的对称轴是上是否存在一点N，使△ABN是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

 解：（1）在y=﹣3x+3中，令y=0，可求得x=1，令x=0，

可求得y=3，

∴A（1，0），B（0，3），

分别代入y=a（x﹣2）²+k，可得，解得，

即a为1，k为﹣1；

（2）由（1）可知抛物线解析式为y=（x﹣2）²﹣1，

令y=0，可求得x=1或x=3，

∴C（3，0），

∴AC=3﹣1=2，AB=，

过B作平行x轴的直线，在B点两侧分别

截取线段BQ₁=BQ₂=AC=2，如图1，

∵B（0，3），

∴Q₁（﹣2，3），Q₂（2，3）；

过C作AB的平行线，在C点分别两侧截取CQ₃=CQ₄=AB=，如图2，

∵B（0，3），

∴Q₃、Q₄到x轴的距离都等于B点到x轴的距离也为3，且到直线

x=3的距离为1，

∴Q₃（2，3）、Q₄（4，﹣3）；

综上可知满足条件的Q点的坐标为（﹣2，3）或（2，3）或（4，﹣3）；

（3）由条件可知对称轴方程为x=2，连接BC交对称轴于点M，连接MA，如图3，

∵A、C两点关于对称轴对称，

∴AM=MC，

∴BM+AM最小，

∴△ABM周长最小，

∵B（0，3），C（3，0），

∴可设直线BC解析式为y=mx+3，

把C点坐标代入可求得m=﹣1，

∴直线BC解析式为y=﹣x+3，

当x=2时，可得y=1，

∴M（2，1）；

∴存在满足条件的M点，

此时BC=3，且AB=，

∴△ABM的周长的最小值为3+；

（4）由条件可设N点坐标为（2，n），[来源:学科网]

则NB2=22+（n﹣3）2=n2﹣6n+13，NA2=（2﹣1）2+n2=1+n2，且AB2=10，

当△ABN为以AB为斜边的直角三角形时，由勾股定理可得NB2+NA2=AB2，

∴n2﹣6n+13+1+n2=10，解得n=1或n=2，

即N点坐标为（2，1）或（2，2），

综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（2，1）或（2，2）．

点评： 本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识点．在（1）中求得A、B两点的坐标是解题的关键，在（2）中确定出Q点的位置是解题的关键，在（3）中确定出M点的位置是解题的关键，在（4）中设出N点坐标，利用勾股定理得到方程是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性较强，难度适中．