【题目】如图,AB为半圆O的直径,AD、BC分别与⊙O相切于点A,B,CD与⊙O相切于点E,AD与CD相交于D,BC与CD相交于C,连接OD、OE、OC,已知AD=2,BC=4,对于下列结论:①AD+BC=CD:②∠DOC=90°;③S梯形ABCD=CDOA:④OA=2.其中结论正确的有_____.(请把正确的结论的序号填在横线上)
【答案】①②
【解析】
连接OE,利用切线长定理得到AD=ED,CE=CB,且OD、OC分别为角平分线,利用平角的定义及等式性质得到∠COD为直角,进而确定出三角形ODE与三角形COD相似,由相似得比例列出关系式,可求OA的长,根据CD=DE+EC,等量代换得到AD+BC=CD,由梯形的面积公式可得S梯形ABCD=AB(AD+BC)=ABCD,即可得到正确的选项;
解:∵AD与圆O相切,DC与圆O相切,BC与圆O相切,
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°,DA=DE=2,CE=CB=4,
∴AD∥BC,
∴CD=DE+EC=AD+BC,选项①正确;
在Rt△ADO和Rt△EDO中,
,
∴Rt△ADO≌Rt△EDO(HL),
∴∠AOD=∠EOD,
同理Rt△CEO≌Rt△CBO,
∴∠EOC=∠BOC,
又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°,
∴2(∠DOE+∠EOC)=180°,即∠DOC=90°,选项②正确;
∴∠DOC=∠DEO=90°,又∠EDO=∠ODC,
∴△EDO∽△ODC,
∴,即OE2=DEEC=8,
∴OE=,
∴OA=OE=,选项④错误;
而S梯形ABCD=AB(AD+BC)=ABCD,选项③错误;
则正确的选项有①②.
故答案为:①②.
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【题目】已知二次函数y=ax2﹣bx+c的y与x的部分对立值如表:
x | ﹣1 | 0 | 1 | 3 |
y | ﹣3 | 1 | 3 | 1 |
下列结论①抛物线的开口向下:②其图象的对称轴为x=1:③当x<1时.函数值y随x的增大而增大,④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4.其中正确的结论有_____
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【题目】为纪念建国70周年,某校举行班级歌咏比赛,歌曲有:《我爱你,中国》,《歌唱祖国》,《我和我的祖国》(分别用字母A,B,C依次表示这三首歌曲).比赛时,将A,B,C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上,洗匀后正面向下放在桌面上,八(1)班班长先从中随机抽取一张卡片,放回后洗匀,再由八(2)班班长从中随机抽取一张卡片,进行歌咏比赛.
(1)八(1)班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________;
(2)试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果,并求出八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率.
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【题目】AB是⊙O的直径,C点在⊙O上,F是AC的中点,OF的延长线交⊙O于点D,点E在AB的延长线上,∠A=∠BCE.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)若BC=BE,判定四边形OBCD的形状,并说明理由.
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【题目】如图,将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1B1C1的位置,AB与A1C1相交于点D,AC与A1C1、BC1分别交于点E. F.
(1)求证:△BCF≌△BA1D.
(2)当∠C=α度时,判定四边形A1BCE的形状并说明理由。
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx﹣1(a≠0)经过A(﹣1,0),B(2,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)点P在抛物线的对称轴上,当△ACP的周长最小时,求出点P的坐标;
(3)若点M为抛物线第四象限内一点,连接BC、CM、BM,求当△BCM的面积最大时点M的坐标.
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【题目】在矩形ABCD中,直线MN经过点A,BE⊥MN于点E,CF⊥MN于点F,DG⊥MN于点G.
(1)当MN绕点A旋转到图①位置时,求证:BE +CF =DG; .
(2)当MN绕点A旋转到图②和图③位置时,线段BE,CF,DG之间又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需要证明;
(3)在(1)(2)的条件下,若CD =2AE =6,EF =43,则CF= 。
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【题目】宾馆有50间房供游客居住,当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10890元?设房价比定价180元增加x元,则有( )
A.(x﹣20)(50﹣)=10890B.x(50﹣)﹣50×20=10890
C.(180+x﹣20)(50﹣)=10890D.(x+180)(50﹣)﹣50×20=10890
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【题目】小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度,如图,旗杆的顶端垂下一绳子,将绳子拉直钉在地上,末端恰好在C处且与地面成60°角,小明拿起绳子末端,后退至E处,拉直绳子,此时绳子末端D距离地面1.6m且绳子与水平方向成45°角.
(1)填空:AD_____AC(填“>”,“<”,“=”).
(2)求旗杆AB的高度.
(参考数据: ≈1.41, ≈1.73,结果精确到0.1m).
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