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【题目】在矩形ABCD中,直线MN经过点ABEMN于点ECFMN于点FDGMN于点G.

(1)MN绕点A旋转到图①位置时,求证:BE +CF =DG; .

(2)MN绕点A旋转到图②和图③位置时,线段BECFDG之间又有怎样的数量关系?

请写出你的猜想,不需要证明;

(3)(1)(2)的条件下,若CD =2AE =6EF =43,则CF=

【答案】(1)证明见解析;(2).

【解析】

(1)过点C作CH⊥DG于点H,证和四边形HGFC为矩形即可得出答案;

(2)图②过点C作CH⊥BE于点H,可知四边形FCGE为矩形,△BCH≌△DMG即可得出答案,图③过点D作DH⊥CF于点H,可知四边形FCDH为矩形,△ABE≌△DCH,即可得出答案.

解:(1)证明:过点C作CH⊥DG于点H,则∠DHC=∠AEB=90°.

∵∠ABE+∠BAE=90°,∠BAE+∠DAG=90°

∴∠ABE=∠DAG

∵∠DAG+∠ADG=90°,∠ADG+∠CDH=90°,

∴∠DAG=∠CDH

∴∠ABE=∠CDH

在△ABE与△CDH中,∠ABE=∠CDH,∠BEA=∠CHD=90°,AB=DC

∴△ABE≌△CDH

∴BE=DH

∴四边形HGFC为矩形

(2)图②:

理由:过点C作CH⊥BE于点H,与(1)同理四边形FCGE为矩形,CF=EH,

∴CH∥MN,∠BHC=90°

∴∠HBC+∠HCB=90°

又∵∠HBC+∠ABE=90°

∴∠ABE=∠HCB

∵∠BAE+∠DMG=90°,∠BAE+∠ABE=90°

∴∠DMG=∠ABE=∠HCB

在△BCH与△DMG中,∠BHC=∠DGM=90°,∠HCB=∠DMG,BC=DM

∴△BCH≌△DMG

∴BH=DG

图③:

理由:过点D作DH⊥CF于点H,与(1)同理四边形FCDH为矩形,DG=FH,

∵∠CDH+∠ADH=90°,∠ADH+∠GDA=90°

∴∠CDH=∠GDA

∵∠GAD+∠GDA=90°,∠GAD+∠EAB=90°

∴∠GDA=∠EAB

∴∠EAB=∠CDH

在△ABE与△DCH中,∠BEA=∠CHD=90°,∠EAB=∠CDH,AB=DC

∴△ABE≌△DCH

∴BE=CH

∴CF-CH=CF-BE=FH=DG

(3)略

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