Question

如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则下列判断错误的是（　　）

• A、四边形AEDF一定是平行四边形
• B、若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形
• C、若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形
• D、若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形

Answer 1

分析：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

解答：解：A、∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE、DF为△ABC得中位线，
∴ED∥AC，且ED=

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AC=AF；同理DF∥AB，且DF=

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AB=AE，
∴四边形AEDF一定是平行四边形，正确．
B、若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形，正确；
C、若AD平分∠A，延长AD到M，使DM=AD，连接CM，由于BD=CD，DM=AD，
∠ADB=∠CDB，（SAS）∴△ABD≌△MCD∴CM=AB，又∵∠DAB=∠CAD，
∠DAB=∠CMD，∴∠CMD=∠CAD，∴CA=CM=AB，因AD平分∠A
∴AD⊥BC，则△ABD≌△ACD；AB=AC，AE=AF，
结合（1）四边形AEDF是菱形，因为∠A不一定是直角
∴不能判定四边形AEDF是正方形；
D、若AD⊥BC，则△ABD≌△ACD；AB=AC，AE=AF，结合（1）四边形AEDF是菱形，正确．
故选C．

点评：本题考查三角形中位线定理和平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定定理．