Question

10．在边长为10的正方形ABCD中，以AB为直径作半圆O，E是半圆上一动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连结DE．
（1）如图，当DE=10时，求证：DE与圆O相切；
（2）求DE的最长距离和最短距离；
（3）如图，建立平面直角坐标系，当DE=10时，试求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接OE，OD，由题意得，DE=DA=10，利用（SSS）判定△AOD≌△EOD，从可得∠OED=∠OAD=90°即可．
（2）当点E运动到与B点重合的位置时，如图2，DE为正方形ABCD的对角线，所以此时DE最长，利用勾股定理求得DE，证明当点E运动到线段OD与半圆O的交点处时，DE最短．然后求得DE=OD-OE即可．
（3）当点E与点A重合时，DE=DA=10，此时，直线DE的解析式为y=10；如图4，当点E与点A不重合时，过点E作GH⊥x轴，分别交AD，x轴于点G，H，连接OE．则四边形AFEG是矩形，且DE为圆O的切线，求证△OFE∽△DGE，利用其对应边成比例，设E（m，n），则有：EF=m，OF=OB-FB=5-n求得即可．

解答 证明：（1）如图1，连接OE，OD，由题意得，
DE=DA=10，OA=OE=$\frac{1}{2}$AB=5，OD为公共边，
在△AOD与△EOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=AD}\\{OA=OE}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△EOD（SSS），
∴∠OED=∠OAD=90°
∴OE⊥DE，
∴DE与圆O相切；

（2）当点E运动到与B点重合的位置时，如图2，DE为正方形ABCD的对角线，所以此时DE最长，
有：DE=$\sqrt{{AD}^{2}{+AB}^{2}}$=10$\sqrt{2}$，
当点E运动到线段OD与半圆O的交点处时，DE最短，
证明如下：
在半圆O上任取一个不与点E重合的点E′，连接OE′，DE′．如图3，
在△ODE′中，∵OE′+DE′＞OD即：OE′+DE′＞OE+DE，
∵OE′=OE，
∴DE′＞DE
∵点E′是任意一个不与点E重合的点，∴此时DE最短．
∴DE=OD-OE=$\sqrt{{{AD}^{2}+AO}^{2}}$-OE=$\sqrt{{10}^{3}{+5}^{2}}-5=5\sqrt{5}$-5；

（3）当点E与点A重合时，DE=DA=10，此时，直线DE的解析式为y=10；如图4，
当点E与点A不重合时，过点E作GH⊥x轴，分别交AD，x轴于点G，H，连接OE．
则四边形AFEG是矩形，
连接OD，
∵AD=DE，OA=OE，OD=OD，
∴△AOD≌△EOD，
∴∠OED=90°，
∴DE为圆O的切线
∴∠FEG=∠OED=90°
∴∠FEO=∠GED，
又∵∠OFE=∠DGE=90°
∴△OFE∽△DGE
∴$\frac{OF}{DG}$=$\frac{EF}{EG}=\frac{OE}{DE}$，
设E（m，n），则有：EF=m，OF=OB-FB=5-n
得：$\frac{5-n}{10-m}=\frac{m}{10-n}=\frac{5}{10}$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=2}\end{array}\right.$，
即：E（4，2）．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，切线的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．