Question

5．某商场购进一批新型的电脑用于出售给与之合作的企业，每台电脑的成本为3600元，销售单价定为4500元，在该种电脑的试销期间，为了促销，鼓励企业积极购买该新型电脑，商场经理决定一次购买这种电脑不超过10台时，每台按4500元销售；若一次购买该种电脑超过]0台时，每多购买一台，所购买的电脑的销售单价均降低50元，但销售单价均不低于3900元．
（1）企业一次购买这种电脑多少台时，销售单价恰好为3900元？
（2）设某企业一次购买这种电脑x台，商场所获得的利润为y元．求y（元）与x（台）之间的函数关系式，井写出自变量x的取值范围．若A企业欲购进一批该新型电脑（不超过25台），则A企业一次性购进多少台电脑时，商场获得利润最大？
（3）该商场销售人员发现：当企业一次购买电脑的台数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，商场所获得的利润反而减少这一情况．为使企业一次购买的数量越多，商场所获得的利润最大，商场应将最低销售单价调整为多少元？（其他销售条件不变）

Answer 1

分析 （1）读清题意，依照超过10台每多出一台优惠50元，列出正确的算式即可解决；
（2）按照题意，将未知量分段，得出利润与台数之间的关系式，分段考虑，寻找最值；
（3）根据（2）信息可得出结论．

解答 解：（1）当销售单价恰好为3900元时，企业一次购买这种电脑台数为：
10+（4500-3900）÷50=22（台），
答：企业一次购买这种电脑22台时，销售单价恰好为3900元．
（2）结合（1）结论和题意可知：
当0＜x≤10时，y=（4500-3600）x，
当11≤x≤22时，y=[4500-3600-50×（x-10）]x，
当23≤x时，y=（3900-3600）x．
整理得：y=$\left\{\begin{array}{l}{900x，（0＜x≤10）}\\{-50{x}^{2}+1400x，（11≤x≤22）}\\{300x，（23≤x）}\end{array}\right.$，
当0＜x≤10时，y=900x≤900×10=9000，
当11≤x≤22时，y=-50（x-14）²+9800≤9800，
当23≤x≤25时，y=300x≤7500，
综上得知当x=14时，商城获得利润最大．
故商场所获得的利润y（元）与x（台）之间的函数关系式为：
y=$\left\{\begin{array}{l}{900x，（0＜x≤10）}\\{-50{x}^{2}+1400x，（11≤x≤22）}\\{300x，（23≤x）}\end{array}\right.$，A企业一次性购进14台电脑时，商场获得利润最大．
（3）从（2）中得知当企业一次性购进14台电脑时，商场获得利润最大，若想企业获得利润不降低，将价格定在原价格购买14台时的价格即可，
当x=14时，单台售价为：4500-50×（14-10）=4300（元），
故商场应将最低销售单价调整为4300元．

点评 本题考查的分段函数，以及二次函数的最值问题，解题的关键是利用一次函数的单调性，以及变二次函数关系式为完全平方形式，即可得出极值．