Question

【题目】抛物线y=a（x+2）2+c与x轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，已知点A（-1，0），OB=OC．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若把抛物线与直线y=-x-4的交点称为抛物线的不动点，若将此抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点；

（3）Q为直线y=-x-4上一点，在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=2∠AQB，且这样的Q点有且只有一个？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x4x3；(2) m≥；(3) P(2,2+)或(2,2).

【解析】

（1）根据函数的解析式可以得到函数的对称轴是x=-2，则B点的坐标可以求得，求得OB的长，则C的坐标可以求得，把A、C的坐标代入函数解析式即可求得；

（2）根据平移后抛物线的顶点坐标设出抛物线的顶点式，然后根据抛物线与直线的有交点，列方程组，最后根据△≥0，求出m的取值范围；

（3）设P（-2，m），以P为圆心的圆与直线y=-x-4相切，根据切线的性质即可求解．

(1)由抛物线y=a(x+2)+c可知，其对称轴为x=2，

∵点A坐标为(1,0)，

∴点B坐标为(3,0)，

∵OB=OC，

∴C点坐标为(0,3).

将A(1,0)、C(0,3)分别代入解析式得,

a+c=0

4a+c=3，

解得a=1，c=1

则函数解析式为y=x4x3.

(2)由题意平移后的抛物线的解析式为y=(xm)+2m，

由x4=(xm)+2m,得到：x(2m+1)x+m2m4=0，

∵平移后的抛物线总有不动点，

∴△≥0，

∴4m+4m+14(m2m4)0，

解得m≥.

(3)如图,设P(2,m),以P为圆心的圆与直线y=x4相切,切点为D,直线y=x4交抛物线的对称轴于E,则E(2,2)

∴PE=m+2,PD=PE，

∵PA=PD，

∴=1+m，

解得m=2±，故P(2,2+)或(2,2).