Question

【题目】如图，正方形ABCD，点P在射线CB上运动(不包含点B、C)，连接DP，交AB于点M，作BE⊥DP于点E，连接AE，作∠FAD=∠EAB，FA交DP于点F．

(1)如图a，当点P在CB的延长线上时，

①求证：DF=BE；

②请判断DE、BE、AE之间的数量关系并证明；

(2)如图b，当点P在线段BC上时，DE、BE、AE之间有怎样的数量关系？请直接写出答案，不必证明；

(3)如果将已知中的正方形ABCD换成矩形ABCD，且AD：AB=：1，其他条件不变，当点P在射线CB上时，DE、BE、AE之间又有怎样的数量关系？请直接写出答案，不必证明．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；②DE=BE+AE，理由详见解析；（2）DE=AE﹣BE；（3）DE=2AE+BE或DE=2AE﹣BE．

【解析】

（1）①由正方形的性质得到AD＝AB，∠BAD＝90°，判断出△ABE≌△ADF，即可；②由①得到△ABE≌△ADF，并且判断出△EAF为直角三角形，用勾股定理即可；

（2）先由正方形的性质和已知条件判断出△ABE≌△ADF，再用判断出△EAF为直角三角形，用勾股定理即可；

（3）分两种情况讨论，先由正方形的性质和已知条件判断出△ABE∽△ADF，AF＝AE，DF＝BE，再判断出△EAF为直角三角形，用勾股定理结合图形可得结论．

证明：（1）①正方形ABCD中，AD=AB，∠ADM+∠AMD=90°

∵BE⊥DP，

∴∠EBM+∠BME=90°，

∵∠AMD=∠BME，

∴∠EBM=∠ADM，

在△ABE和△ADF中，

，

∴△ABE≌△ADF，

∴DF=BE；

②DE=BE+AE，

理由：由（1）有△ABE≌△ADF，

∴AE=AF，∠BAE=∠DAF，

∴∠BAE+∠FAM=∠DAF+∠FAM，

∴∠EAF=∠BAD=90°，

∴EF=AE，

∵DE=DF+EF，

∴DE=BE+AE；

（2）DE=AE﹣BE；

理由：正方形ABCD中，AD=AB，∠BAD=∠BAE+∠DAE=90°，

∵∠FAD=∠EAB，

∴∠EAF=∠BAD=90°，

∴∠AFE+∠AEF=90°

∵BE⊥DP，

∴∠BEA+∠AEF=90°，

∴∠BEA=∠AFE，

∵∠FAD=∠EAB，AD=AB

∴△ABE≌△ADF，

∴AE=AF，BE=DF

∵∠EAF=90°

∴EF=AE，

∵EF=DF+DE=AE，

∴DE=AE﹣DF=AE﹣BE；

（3）DE=2AE+BE或DE=2AE﹣BE．

①如图1所示时，

正方形ABCD中，∠ADM+∠AMD=90°

∵BE⊥DP，

∴∠EBM+∠BME=90°，

∵∠AMD=∠BME，

∴∠EBM=∠ADM，

∵∠FAD=∠EAB

∴△ABE∽△ADF，

∴，

∵AD：AB=：1，

∴，

∴AF=AE，DF=BE

∵∠FAD=∠EAB

∴∠EAF=∠EAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=∠BAD=90°，

∴EF==2AE=DE﹣DF=DE﹣BE，

即：DE=2AE+BE；

②如图2所示，

∵∠DAF=∠BAE，

∴∠EAF=∠BAD=90°，

∵∠DAF=∠BAE，

∴△BAE∽△DAF，

∴，

∵AD：AB=：1，

∴，

∴AF=AE，DF=BE，

∵∠EAF=90°，

根据勾股定理得，EF==2AE=DE+DF=DE+BE，

∴DE=2AE﹣BE．