Question

【题目】如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．

（1）求证：BE=CE；

（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；

（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BFCD是菱形，理由见解析；（3）CD=2．

【解析】

试题（1）证明△ABD≌△ACD，得到∠BAD=∠CAD，根据等腰三角形的性质即可证明；

（2）菱形，证明△BFE≌△CDE，得到BF=DC，可知四边形BFCD是平行四边形，易证BD=CD，可证明结论；

（3）设DE=x，则根据CE2=DEAE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD．

试题解析：（1）∵AD是直径，∴∠ABD=∠ACD=90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BE=CE；

（2）四边形BFCD是菱形．

∵AD是直径，AB=AC，∴AD⊥BC，BE=CE，∵CF∥BD，∴∠FCE=∠DBE，

在△BED和△CEF中，∴△BED≌△CEF，∴CF=BD，∴四边形BFCD是平行四边形，∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，∴四边形BFCD是菱形；

（3）∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，∴CE2=DEAE，设DE=x，∵BC=8，AD=10，

∴42=x（10﹣x），解得：x=2或x=8（舍去）在Rt△CED中，CD==2．